Я знаю несколько хороших примеров пар коррелированных случайных величин, которые незначительно нормальны, но не в совокупности нормальны. Смотрите этот ответ на Дилип Sarwate , и этот по кардиналу .
Мне также известен пример двух нормальных случайных величин, сумма которых не является нормальной. Смотрите этот ответ по Макро . Но в этом примере две случайные величины некоррелированы.
Есть ли пример двух нормальных случайных величин, которые имеют ненулевую ковариацию и чья сумма не является нормальной? Или можно доказать, что сумма любых двух коррелированных нормальных случайных величин, даже если они не являются двумерными нормальными, должна быть нормальной?
[Контекст: У меня вопрос домашнего задания , которое запрашивает распределение , где Х и Y являются стандартными нормалями с корреляцией р . Я думаю, что вопрос хотел указать, что они двумерные, нормальные. Но мне интересно, можно ли что-то сказать без этого дополнительного предположения для ненулевого ρ .]
Спасибо!
Ответы:
Почти любая двумерная связка будет производить пару нормальных случайных величин с некоторой ненулевой корреляцией (некоторые будут давать ноль, но это особые случаи). Большинство (почти все) из них будут давать ненормальную сумму.
В некоторых семействах связок может быть получена любая желаемая (популяционная) корреляция Спирмена ; трудность заключается только в нахождении корреляции Пирсона для нормальных полей; в принципе это выполнимо, но в общем случае алгебра может быть довольно сложной. [Однако, если у вас есть корреляция численности Спирмена, корреляция Пирсона - по крайней мере, для полей с легкими хвостами, таких как гауссианы - может быть не слишком далека от нее во многих случаях.]
Все, кроме первых двух примеров в заговоре кардинала, должны давать ненормальные суммы.
Некоторые примеры - первые два принадлежат к тому же семейству копул, что и пятый пример двумерного распределения кардинала, третий - вырожденный.
Пример 1:
Здесь сумма очень отчетливо достигает пика и довольно сильно искажена
Пример 2:
С другой стороны, если мы просто отрицаем одну из них, мы изменили бы связь между силой асимметрии и знаком корреляции (но не ее направлением).
Стоит также поиграть с несколькими различными копулами, чтобы понять, что может произойти с двумерным распределением и нормальными полями.
Можно поэкспериментировать с гауссовыми полями с t-копулой, не беспокоясь о деталях связок (генерировать из коррелированного двумерного t, что легко, затем преобразовать в однородные поля с помощью интегрального преобразования вероятности, а затем преобразовать однородные поля в гауссовский через обратный нормальный cdf). Он будет иметь ненормальную, но симметричную сумму. Поэтому, даже если у вас нет хороших пакетов copula, вы все равно можете делать некоторые вещи довольно легко (например, если бы я пытался быстро показать пример в Excel, я бы, вероятно, начал с t-copula).
-
Пример 3 : (это больше похоже на то, с чего я должен был начать изначально)
В этом случае корреляция между ними составляет около 0,66.
Некоторый код:
Второй пример:
Код для третьего примера:
источник
Я придумал один пример. X - стандартная нормальная переменная, а Y = -X. Тогда X + Y = 0, что постоянно. Кто-нибудь может подтвердить, что это контрпример?
Мы знаем, что если X, Y совместно нормальны, то их сумма также нормальна. Но что, если их соотношение -1?
Я немного запутался по этому поводу. Спасибо.
источник