Я пытался смоделировать введение случайных точек в круг, чтобы любая часть круга имела одинаковую вероятность наличия дефекта. Я ожидал, что число на площадь полученного распределения будет соответствовать распределению Пуассона, если я разделю круг на прямоугольники равной площади.

Поскольку это требует только размещения точек в круглой области, я ввел два равномерных случайных распределения в полярных координатах: (радиус) и (полярный угол).$R$$\theta$

Но после выполнения этой инъекции я ясно получаю больше точек в центре круга по сравнению с краем.

Каков будет правильный способ выполнить эту инъекцию по кругу, чтобы точки были случайным образом распределены по кругу?

Вы хотите, чтобы пропорция точек была равномерно пропорциональна площади, а не расстоянию до начала координат. Так как площадь пропорциональна квадрату расстояния, создайте одинаковые случайные радиусы и возьмите их квадратные корни. Объедините это с равномерным полярным углом.

Это быстрый и простой в коде код, эффективный при выполнении (особенно на параллельной платформе), который генерирует точно указанное количество баллов.

пример

Это рабочий Rкод для иллюстрации алгоритма.

n <- 1e4
rho <- sqrt(runif(n))
theta <- runif(n, 0, 2*pi)
x <- rho * cos(theta)
y <- rho * sin(theta)
plot(x, y, pch=19, cex=0.6, col="#00000020")

Отбор проб может быть использован. Это означает, что мы можем сэмплировать из двумерного равномерного распределения и выбирать сэмплы, которые удовлетворяют условию диска.

Вот пример.

x=runif(1e4,-1,1)
y=runif(1e4,-1,1)

d=data.frame(x=x,y=y)
disc_sample=d[d$x^2+d$y^2<1,]
plot(disc_sample)

Я дам вам общий n-мерный ответ, который, конечно, работает и для двумерного случая. В трех измерениях аналог диска представляет собой объем сплошного шара (сферы).

Есть два подхода, которые я собираюсь обсудить. Один из них я бы назвал «точным» , и вы получите полное решение с ним на R. Второй, который я назвал эвристическим , и это только идея, полного решения не предоставляется.

«Точное» решение

Мое решение основано на работах Марсальи и Мюллера . По сути, так получается, что нормализованный по своей норме гауссов вектор дает равномерно распределенные точки на d-мерной гиперсфере:

$d$$1/d$

n <- 1e4
rho <- sqrt(runif(n))
# d - # of dimensions of hyperdisk
d = 2
r = matrix(rnorm(n*d),nrow=n,ncol=d)
x = r/rep(sqrt(rowSums(r^2))/rho,1)
plot(x[,1], x[,2], pch=19, cex=0.6, col="#00000020")

Вот фрагмент кода для трехмерного случая, то есть сплошной шар:

library(scatterplot3d)
n <- 1e3
# d - # of dimensions of hyperdisk

d=3
rho <- (runif(n))^(1/d)
r = matrix(rnorm(n*d),nrow=n,ncol=d)
x = r/rep(sqrt(rowSums(r^2))/rho,1)

scatterplot3d(x[,1], x[,2], x[,3])

Эвристический подход

$\sum_{i=1}^d x_i^2<R^2$

$\frac 1 {\sqrt{d+2}}$

Вот альтернативное решение в R:

n <- 1e4
## r <- seq(0, 1, by=1/1000)
r <- runif(n)
rho <- sample(r, size=n, replace=T, prob=r)
theta <- runif(n, 0, 2*pi)
x <- rho * cos(theta)
y <- rho * sin(theta)
plot(x, y, pch=19, cex=0.6, col="#00000020")