Обратное преобразование результатов регрессии при моделировании журнала (y)

Я подгоняю регрессию к . Является ли обоснованным обратное преобразование точечных оценок (и доверительных интервалов / интервалов прогнозирования) путем возведения в степень? Я не верю в это, поскольку но хотел мнения других.$\log(y)$$E[f(X)] \ne f(E[X])$

Мой пример ниже показывает конфликты с обратным преобразованием (.239 против .219).

set.seed(123)

a=-5
b=2

x=runif(100,0,1)
y=exp(a*x+b+rnorm(100,0,.2))
# plot(x,y)

### NLS Fit
f <- function(x,a,b) {exp(a*x+b)} 
fit <- nls(y ~ exp(a*x+b),  start = c(a=-10, b=15)) 
co=coef(fit)
# curve(f(x=x, a=co[1], b=co[2]), add = TRUE,col=2,lwd=1.2) 
predict(fit,newdata=data.frame(x=.7))
[1] 0.2393773

### LM Fit
# plot(x,log(y))
# abline(lm(log(y)~x),col=2)
fit=lm(log(y)~x)
temp=predict(fit,newdata=data.frame(x=.7),interval='prediction')
exp(temp)
        fit       lwr       upr
1 0.2199471 0.1492762 0.3240752

Это зависит от того, что вы хотите получить на другом конце.

Доверительный интервал для преобразованного параметра преобразуется просто отлично. Если оно имеет номинальное покрытие в логарифмическом масштабе, оно будет иметь такое же покрытие в исходном масштабе из-за монотонности преобразования.

Интервал предсказания для будущего наблюдения также преобразуется очень хорошо.

Интервал для среднего значения в логарифмической шкале обычно не будет подходящим интервалом для среднего значения в исходной шкале.

Однако иногда вы можете точно или приблизительно получить разумную оценку среднего значения в исходном масштабе из модели в логарифмическом масштабе.

Однако требуется осторожность, иначе вы можете получить оценки, которые имеют несколько неожиданные свойства (например, можно получить оценки, которые сами по себе не имеют среднего значения; это далеко не все для хорошей идеи).

Так, например, в логнормальном случае, когда вы возводите в степень обратно, у вас есть хорошая оценка , и вы можете заметить, что среднее значение популяции равно , так что вы можете подумать об улучшении , масштабируя его по некоторой оценке .$\exp(\mu_i)$$\exp(\mu_i+\frac{1}{2}\sigma^2)$$\exp(\hat{\mu_i})$$\exp(\frac{1}{2}\sigma^2)$

По крайней мере, нужно иметь возможность получить непротиворечивую оценку и даже некоторую асимптотику распределения с помощью теоремы Слуцкого (в частности, формы продукта), если можно последовательно оценить корректировку. Теорема о непрерывном отображении говорит, что вы можете, если вы можете оценить последовательно ... что имеет место.$\sigma^2$

Так что, если является непротиворечивой оценкой , то сходится по распределению к распределению (который после проверки будет асимптотически логнормально распределен ). Поскольку будет согласованным для , но теорема о непрерывном отображении, будет согласованной для , и поэтому мы имеем согласованную оценку имею ввиду в оригинальном масштабе.$\hat{\sigma}^2$$\sigma^2$$\exp(\hat{\mu_i})\cdot \exp(\frac{1}{2}\hat{\sigma}^2)$$\exp(\hat{\mu_i})\cdot \exp(\frac{1}{2}\sigma^2)$$\hat{\mu_i}$$\mu_i$$\exp(\hat{\mu_i})$$\exp(\mu_i)$

Смотрите здесь .

Некоторые похожие посты:

Обратное преобразование модели MLR

Обратное Преобразование

Обратно преобразованные доверительные интервалы