Мы знаем о том факте, что нулевая корреляция не означает независимость. Меня интересует, подразумевает ли ненулевая корреляция зависимость - то есть, если для некоторых случайных величин и , можем ли мы вообще сказать, что ?X Y f X , Y ( x , y ) ≠ f X ( x ) f Y ( y )
correlation
independence
Comp_Warrior
источник
источник
\implies
производит что выглядит лучше, чем производит .\rightarow
Пусть и Y обозначают случайные величины, такие что E [ X 2 ] и E [ Y 2 ] конечны. Тогда E [ X Y ] , E [ X ] и E [ Y ] все конечны.X Y E[X2] E[Y2] E[XY] E[X] E[Y]
Ограничивая наше внимание такими случайными переменными, пусть обозначает утверждение, что X и Y являются независимыми случайными величинами, а B - утверждение, что X и Y - некоррелированные случайные величины, то есть E [ X Y ] = E [ X ] E [ Y ] . Тогда мы знаем, что A подразумевает B , то есть независимые случайные величины являются некоррелированными случайными величинами. Действительно, одно определениеA X Y B X Y E[XY]=E[X]E[Y] A B независимых случайных величин состоит в том, что
равно E [ g ( X ) ] E [ h ( Y ) ] для всех измеримых функций g ( ⋅ )
и h ( ⋅ ) ). Это, как правило , выражается как
AE[g(X)h(Y)] E[g(X)]E[h(Y)] g(⋅) h(⋅)
Но
Если , E [ X ] или E [ Y ] не являются конечными или не существуют, то невозможно сказать, являются ли X и Y некоррелированными или нет в классическом смысле некоррелированных случайных величин, являющихся который E [ X Y ] = E [ X ] E [ Y ] . Например, X и Y могут быть независимыми случайными величинами Коши (для которых среднее не существуетE[XY] E[X] E[Y] X Y E[XY]=E[X]E[Y] X Y ). Являются ли они некоррелированными случайными величинами в классическом смысле?
источник
Здесь чисто логическое доказательство. Если то обязательно ¬ B → ¬ A , так как оба они эквивалентны. Таким образом , если ¬ В то ¬ . Теперь замените А независимостью, а В - корреляцией.A→B ¬B→¬A ¬B ¬A A B
Подумайте о высказывании «если извержение вулкана повлечет за собой ущерб». Теперь подумайте о случае, когда нет повреждений. Ясно, что вулкан не извергался, или у нас было бы противоречие.
Точно так же, подумайте о случае «Если независимы , то некоррелированные X , Y ». Теперь рассмотрим случай, когда X , Y коррелированы. Очевидно, что они не могут быть независимыми, потому что если бы они были, они также были бы коррелированы. Таким образом, заключаем зависимость.X,Y X,Y X,Y
источник