Ненулевая корреляция подразумевает зависимость?

17

Мы знаем о том факте, что нулевая корреляция не означает независимость. Меня интересует, подразумевает ли ненулевая корреляция зависимость - то есть, если для некоторых случайных величин и , можем ли мы вообще сказать, что ?X Y f X , Y ( x , y ) f X ( x ) f Y ( y )Corr(X,Y)0XYfX,Y(x,y)fX(x)fY(y)

Comp_Warrior
источник

Ответы:

13

Да потому, что

Corr(X,Y)0Cov(X,Y)0

E(XY)E(X)E(Y)0

xyfX,Y(x,y)dxdyxfX(x)dxyfY(y)dy0

xyfX,Y(x,y)dxdyxyfX(x)fY(y)dxdy0

xy[fX,Y(x,y)fX(x)fY(y)]dxdy0

что было бы невозможно, если . ТакfX,Y(x,y)fX(x)fY(y)=0,{x,y}

Corr(X,Y)0{x,y}:fX,Y(x,y)fX(x)fY(y)

Вопрос: что происходит со случайными переменными, у которых нет плотностей?

Алекос Пападопулос
источник
1
Алекос, у меня тупой вопрос. Что означает необычная стрелка, например, в строке 1? Я представляю что-то вроде «подразумевать», но я не уверен.
Sycorax сообщает восстановить Monica
2
@ user777 Вы имеете в виду ? Действительно, это означает «подразумевает».
Алекос Пападопулос
Причина, по которой стрелка импликации используется только в неформальном аргументе: является ли стрелка импликации левой или правой ассоциативной?
Кастерма
\impliesпроизводит что выглядит лучше, чем производит . \rightarow
Dilip
14

Пусть и Y обозначают случайные величины, такие что E [ X 2 ] и E [ Y 2 ] конечны. Тогда E [ X Y ] , E [ X ] и E [ Y ] все конечны.XYE[X2]E[Y2]E[XY]E[X]E[Y]

Ограничивая наше внимание такими случайными переменными, пусть обозначает утверждение, что X и Y являются независимыми случайными величинами, а B - утверждение, что X и Y - некоррелированные случайные величины, то есть E [ X Y ] = E [ X ] E [ Y ] . Тогда мы знаем, что A подразумевает B , то есть независимые случайные величины являются некоррелированными случайными величинами. Действительно, одно определениеAXYBXYE[XY]=E[X]E[Y]ABнезависимых случайных величин состоит в том, что равно E [ g ( X ) ] E [ h ( Y ) ] для всех измеримых функций g ( ) и h ( ) ). Это, как правило , выражается как AE[g(X)h(Y)]E[g(X)]E[h(Y)]g()h() Но

AB.
логически эквивалентна ¬ BAB , то есть¬B¬A

коррелированные случайные величины являются зависимыми случайными величинами.

Если , E [ X ] или E [ Y ] не являются конечными или не существуют, то невозможно сказать, являются ли X и Y некоррелированными или нет в классическом смысле некоррелированных случайных величин, являющихся который E [ X Y ] = E [ X ] E [ Y ] . Например, X и Y могут быть независимыми случайными величинами Коши (для которых среднее не существуетE[XY]E[X]E[Y]XYE[XY]=E[X]E[Y]XY). Являются ли они некоррелированными случайными величинами в классическом смысле?

Дилип Сарватэ
источник
3
Хорошая вещь об этом ответе состоит в том, что он применяется независимо от того, допускают ли рассматриваемые случайные переменные функцию плотности, в отличие от других ответов в этой теме. Это верно в связи с тем, что ожидания могут быть определены с помощью интегралов Стилтьеса с использованием CDF, без упоминания плотности.
Ахфосс
1

Здесь чисто логическое доказательство. Если то обязательно ¬ B ¬ A , так как оба они эквивалентны. Таким образом , если ¬ В то ¬ . Теперь замените А независимостью, а В - корреляцией.AB¬B¬A¬B¬AAB

Подумайте о высказывании «если извержение вулкана повлечет за собой ущерб». Теперь подумайте о случае, когда нет повреждений. Ясно, что вулкан не извергался, или у нас было бы противоречие.

Точно так же, подумайте о случае «Если независимы , то некоррелированные X , Y ». Теперь рассмотрим случай, когда X , Y коррелированы. Очевидно, что они не могут быть независимыми, потому что если бы они были, они также были бы коррелированы. Таким образом, заключаем зависимость.X,YX,YX,Y

Тони
источник
Если вы будете внимательно прочитать мой ответ, вы увидите , что я тоже использовал аргумент , что вы сделали в своем ответе, а именно , что такой же, какBAB . B¬A
Дилип
@DilipSarwate Отредактировано, чтобы отразить это.
Тони