Если - это CDF, похоже, что ( ) также является CDF.
В: Это стандартный результат?
Q: Есть ли хороший способ найти функцию с st , где
По сути, у меня есть еще один CDF, . В некотором смысле уменьшенной формы я хотел бы охарактеризовать случайную переменную, которая производит этот CDF.
РЕДАКТИРОВАТЬ: Я был бы счастлив, если бы я мог получить аналитический результат для особого случая . Или хотя бы знать, что такой результат неразрешимый.
data-transformation
cdf
quantile-function
lowndrul
источник
источник
Ответы:
Мне нравятся другие ответы, но никто еще не упомянул следующее. Событие происходит тогда и только тогда, когда , поэтому если и независимы и , затем поэтому для положительное целое число (скажем, ) принимает , где «ы являются IID{ м а х ( U , V ) ≤ т } U V W = т а х ( U , V ) Р Ш ( т ) = Р U ( т ) * Р V ( т ) α α = n X = m a x ( Z{U≤t, V≤t} {max(U,V)≤t} U V W=max(U,V) FW(t)=FU(t)∗FV(t) α α=n X=max(Z1,...Zn) Z
Для мы можем переключиться, чтобы получить , так что будет той случайной переменной, что максимум из независимых копий будет иметь такое же распределение, что и (и это не будь одним из наших знакомых друзей, в общем).α=1/n FZ=FnX X n Z
Случай положительного рационального числа (скажем, ) следует из предыдущего, посколькуα α=m/n
Для иррационального выберите последовательность положительных рациональных чисел сходящихся к ; тогда последовательность (где мы можем использовать описанные выше приемы для каждого ) будет сходиться по распределению к требуемомуα ak α Xk k X
Возможно, это не та характеристика, которую вы ищете, но она, по крайней мере, дает представление о том, как правильно думать о для . С другой стороны, я не совсем уверен, насколько лучше это может быть: у вас уже есть CDF, поэтому правило цепочки дает вам PDF, и вы можете вычислять моменты до заката ...? Это правда, что у большинства не будет , знакомого для , но если бы я захотел поиграть с примером, чтобы найти что-то интересное, я мог бы попробовать равномерно распределить на интервале единиц с , .FαZ α Z X α=2–√ Z F(z)=z 0<z<1
РЕДАКТИРОВАТЬ: я написал несколько комментариев в ответ @JMS, и был вопрос о моей арифметике, поэтому я напишу, что я имел в виду, в надежде, что это более понятно.
@cardinal правильно в комментарии к @JMS ответ написал, что проблема упрощается до или в более общем случае, когда не обязательно , мы имеем Моя точка зрения заключалась в том, что когда имеет хорошую обратную функцию, мы можем просто решить для функции с базовой алгеброй. Я написал в комментарии, что должно быть
Давайте возьмем специальный случай, включим вещи и посмотрим, как это работает. Пусть имеет распределение Exp (1) с CDF и обратным CDF Легко подключить все, чтобы найти ; после того, как мы закончим, мы получим Итак, в итоге я утверждаю, что если и если мы определим тогда у будет CDF, который выглядит как Мы можем доказать это непосредственно (посмотрите наX
Сюжет результатов моделирования выглядит следующим образом.
Код R, используемый для создания графика (без меток):
Подходит выглядит довольно хорошо, я думаю? Может я не сумасшедший (на этот раз)?
источник
Доказательство без слов
Нижняя синяя кривая - , верхняя красная кривая - (типизирует регистр ), а стрелки показывают, как перейти от к .F Fα α<1 z x=g(z)
источник
Module[ {y, w, a = 0.1, z = 3.24, f = ChiDistribution[7.6], xmin=0, xmax=5}, y = CDF[f,z]; w = InverseCDF[f, y^(1/a)]; Show[ Plot[{CDF[f, x],CDF[f,x]^a} , {x, xmin, xmax}, Filling->{1->{2}}], Graphics[{ Dashed, Arrow[{{z,0}, {z,y}}], Arrow[{{z,y}, {w,y}}], Arrow[{{w,y}, {w,0}}] }] ] ]
Q1) Да. Это также полезно для генерации переменных, которые стохастически упорядочены; Вы можете видеть это на красивой картине @ whuber :). меняет случайный порядок.α>1
То, что это действительный cdf, это просто вопрос проверки необходимых условий: должен быть кадлагом , неубывать и ограничиваться 1 на бесконечности и 0 на отрицательной бесконечности. F z обладает этими свойствами, поэтому все это легко показать.Fz(z)α 1 0 Fz
Q2) Похоже, это было бы довольно сложно аналитически, если является особеннымFZ
источник