Доверительный интервал для различия средств в регрессии

Предположим, у меня есть модель квадратичной регрессии с ошибками удовлетворяющими обычным предположениям (независимым, нормальным, независимым от значений ). Пусть - оценки наименьших квадратов.

У меня есть два новых значения и , и я заинтересован в получении доверительного интервала для .$X$$x_1$$x_2$$v = E(Y|X = x_2) - E(Y|X=x_1) = \beta_1 (x_2 - x_1) + \beta_2 (x_2^2 - x_1^2)$

Точечная оценка: , и (исправьте меня, если я ошибаюсь) я могу оценить дисперсию с помощью с использованием оценок дисперсии и ковариации коэффициентов, предоставленных программным обеспечением.$\hat{v} = b_1 (x_2 - x_1) + b_2 (x_2^2 - x_1^2)$

Я мог бы использовать нормальное приближение и взять в качестве 95% -ного доверительного интервала для , или я мог бы использовать доверительный интервал начальной загрузки, но есть ли способ определить точное распределение и использовать это?$\hat{v} \pm 1.96 \hat{s}$$v$

Общий результат вы ищете (при сделанных предположениях) выглядит следующим образом : Для линейной регрессии с предикторами ( у вас есть два, и ) и перехват, то с наблюдениями, матрица плана , мерной оценки и$p$$X$$X^2$$n$$\mathbf{X}$$n \times (p+1)$$\hat{\beta}$$p+1$$a \in \mathbb{R}^{p+1}$

В результате вы можете построить доверительные интервалы для любой линейной комбинации вектора используя то же распределение, которое вы используете для построения доверительного интервала для одной из координат.$\beta$$t$

В вашем случае и . Знаменатель в приведенной выше формуле является квадратным корнем того, что вы вычисляете как оценку стандартной ошибки (при условии, что это то, что вычисляет программное обеспечение ...). Обратите внимание, что оценщик дисперсии, , должен быть (обычным) объективным оценщиком, где вы делите на степени свободы, , а не на количество наблюдений .$p = 2$$a^T = (0, x_2 - x_1, x_2^2 - x_1^2)$$\hat{\sigma}^2$$n-p-1$$n$