Я вполне уверен, что понимаю, как работает интеграция Монте-Карло, но я не понимаю формулировку того, как она используется для оценки числа Пи. Я иду по процедуре, описанной в 5-м слайде этой презентации http://homepages.inf.ed.ac.uk/imurray2/teaching/09mlss/slides.pdf
Я понимаю предварительные шаги. Пи в 4 раза больше площади четверти единицы круга. А площадь верхней правой четверти единичного круга с центром в (0,0) эквивалентна интегралу кривой, которая является верхней правой четвертью единичного круга в а также ,
То, что я не понимаю, как этот интеграл
где равномерно распределено в единичном квадрате вокруг четверти круга (т. е. оно всегда равно 1, если и и 0 в противном случае). Так что это будет означать, что
- это функция, которая является верхним правым квадрантом единичного круга при и но я не понимаю, как это верно, поскольку индикаторная функция может быть только 1 или 0. Я понимаю, что, вероятно, она написана таким образом, чтобы сделать выборку по методу Монте-Карло легкой (т.е. это ожидание, поэтому просто выборка из и получить среднее значение образцов, примененных к
) но мне просто не понятно, почему этот интеграл представляет площадь под этой кривой.
Может ли кто-нибудь дать интуитивное объяснение этому. Может быть, покажите, как этот интеграл был получен поэтапно?
РЕДАКТИРОВАТЬ:
Я смог получить лучшее понимание, связав ожидания с областью. Я объясню это здесь на случай, если это кому-нибудь поможет. Сначала начните с соотнесения Пи с областью верхнего правого квадранта окружности юнита.
Затем мы помещаем верхний правый квадрант в единицу площади. А при равномерном распределении по единичному квадрату площадь квадранта круга пропорциональна вероятности получения образца из него. Отсюда следует следующее равенство
и так
И подставляя в исходное уравнение
и также верно, что что равно исходному двойному интегралу.
Таким образом, я понял это, связав область с вероятностью, а затем связав эту вероятность с ожиданием, эквивалентным интегралу. Дайте мне знать, если я сделал какие-либо ошибки.
источник
Простейшее интуитивное объяснение основано на понимании того, что . Таким образом, . Как только вы поймете, что двойной интеграл является просто вероятностью, вам должно быть интуитивно понятно, что вы можете выбрать и из единичного квадрата и вычислить долю ничьей, для которой .E(I(A))=P(A) ∫∫I(x2+y2<1)dxdy=P(x2+y2<1) x y x2+y2<1
Возможно, другой частью интуиции, отсутствующей в вашем понимании, является связь между областью и вероятностью. Поскольку площадь всего единичного квадрата равно 1 и точек равномерно распределены в пределах квадрата, площадь любой области в пределах единичного квадрата будет соответствовать вероятности того, что случайно выбранная точка будет находиться в пределах .(x,y) A A
источник
Я попал на это серфовое резюме, и я вижу, что код Монте-Карло находится в Октаве. У меня случается симуляция в R, которая делает идею получения числа как двумерного равномерного распределения в плоскости при ограничениях интегралов в OP очень интуитивной:π [0,1]
Учитывая, что четверть круга заключена в квадрат из 1 единицы, площадь равна . Таким образом, генерация равномерно распределенных точек в квадрате приведет к покрытию всего квадрата, а вычисление дроби, удовлетворяющей будет равносильно интегрированию поскольку мы просто выбираем дробь точек внутри круга по отношению к квадрату единицы:π/4 (x,y) 1<(x2+y2)−−−−−−−−√ ∬1((x2+y2)<1)1(0<x<1)1(0<y<1)
Мы можем построить значения, попадающие в радиус, среди 10 000 ничьих:
И мы, естественно, можем приблизиться и приблизиться, выбрав больше точек. С 1 миллионом очков мы получаем:
(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4 [1] 3.141644
очень приблизительный результат. Вот сюжет:
источник