Какие математические инструменты существуют для понимания модулированного шума?

Предположим, у нас есть сигнал $n$ который состоит из гауссовского белого шума. Если мы модулируем этот сигнал, умножая его на , результирующий сигнал по-прежнему имеет белый спектр мощности, но очевидно, что шум теперь «сгруппирован» во времени. Это пример циклостационарного процесса .$\sin 2\omega t$

$$x(t) = n(t) \sin2\omega t$$

Предположим, что теперь мы демодулируем этот сигнал на частоте , смешивая с синусоидальными и косинусными локальными генераторами, формируя сигналы I и Q:$\omega$

$$I = x(t) \times \sin\omega t$$ $$Q = x(t) \times \cos\omega t$$

Наивно наблюдая, что спектр мощности (взятый за интервал времени, намного больший, чем ), является белым, мы могли бы ожидать, что и будут содержать белый гауссовский шум одинаковой амплитуды. Однако, что действительно происходит, так это то, что квадратура выборочно отбирает части временных рядов с высокой дисперсией, в то время как , девяносто градусов не в фазе, отбирает части с более низкой дисперсией:$x(t)$$1/f$$I$$Q$$I$$x(t)$$Q$

Результатом является то , что спектральная плотность шума в I является раз больше , чем .$\sqrt{3}$$Q$

Очевидно, что за пределами спектра мощности должно быть что-то полезное для описания модулированного шума. В литературе моей области есть ряд доступных работ, описывающих вышеупомянутый процесс, но я хотел бы узнать, как его воспринимают в более широком смысле сообщества обработки сигналов / ЭЭ.

Каковы некоторые полезные математические инструменты для понимания и управления циклостационарным шумом? Любые ссылки на литературу также приветствуются.

Ссылки:

• Нибауэр и др. «Нестационарный дробовой шум и его влияние на чувствительность интерферометров». Phys. Rev. A 43, 5022–5029 .

Я не уверен, что конкретно вы ищете здесь. Шум обычно описывается через его спектральную плотность мощности или, что то же самое, через автокорреляционную функцию; автокорреляционная функция случайного процесса и его PSD являются парой преобразования Фурье. Белый шум, например, имеет импульсную автокорреляцию; это преобразуется в плоский спектр мощности в области Фурье.

Ваш пример (хотя и несколько непрактичный) аналогичен приемнику связи, который наблюдает модулированный по несущей белый шум на несущей частоте $2 \omega$, Приемник примера весьма удачен, поскольку у него есть свой генератор, который связан с генератором; между синусоидами, сгенерированными на модуляторе и демодуляторе, отсутствует фазовый сдвиг, что обеспечивает возможность «идеального» преобразования с понижением частоты в основную полосу. Это не практично само по себе; Существуют многочисленные структуры для приемников когерентной связи. Однако шум обычно моделируется как аддитивный элемент канала связи, который не коррелирован с модулированным сигналом, который приемник пытается восстановить; для передатчика было бы редко фактически передавать шум как часть его модулированного выходного сигнала.

Однако с учетом этого, взгляд на математику за вашим примером может объяснить ваши наблюдения. Для того, чтобы получить результаты, которые вы описываете (по крайней мере, в исходном вопросе), модулятор и демодулятор имеют генераторы, которые работают на одинаковой опорной частотой и фазой. Модулятор выводит следующее:

$$\begin{align} n(t) &\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) \\ x(t) & = n(t) \sin(2\omega t) \end{align}$$

Приемник генерирует преобразованные с понижением частоты I и Q сигналы следующим образом:

$$\begin{align} I(t) &= x(t) \sin(2 \omega t) = n(t) \sin^2(2 \omega t)\\ Q(t) &= x(t) \cos(2 \omega t) = n(t) \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) \end{align}$$

Некоторые тригонометрические тождества могут помочь уточнить и Q ( t ) еще немного:$I(t)$$Q(t)$

$$\begin{align} \sin^2(2 \omega t) &= \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) &= \frac{\sin(4 \omega t) + \sin(0)}{2} = \frac{1}{2} \sin(4 \omega t) \end{align}$$

Теперь мы можем переписать преобразованную с понижением частоты пару сигналов:

$$\begin{align} I(t) &= n(t) \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ Q(t) &= \frac{1}{2} n(t) \sin(4 \omega t) \end{align}$$

Входной шум имеет нулевое среднее значение, поэтому и Q ( t ) также имеют нулевое среднее значение. Это означает, что их отклонения:$I(t)$$Q(t)$

$$\begin{align} \sigma^{2}_{I(t)} &= \mathbb{E}(I^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) \\ \sigma^{2}_{Q(t)} &= \mathbb{E}(Q^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \sin^2(4 \omega t)\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right) \end{align}$$

You noted the ratio between the variances of $I(t)$ and $Q(t)$ in your question. It can be simplified to:

$$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right)}{\mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right)}$$

The expectations are taken over the random process $n(t)$ 's time variable $t$. Since the functions are deterministic and periodic, this is really just equivalent to the mean-squared value of each sinusoidal function over one period; for the values shown here, you get a ratio of $\sqrt 3$, as you noted. The fact that you get more noise power in the I channel is an artifact of noise being modulated coherently (i.e. in phase) with the demodulator's own sinusoidal reference. Based on the underlying mathematics, this result is to be expected. As I stated before, however, this type of situation is not typical.

Although you didn't directly ask about it, I wanted to note that this type of operation (modulation by a sinusoidal carrier followed by demodulation of an identical or nearly-identical reproduction of the carrier) is a fundamental building block in communication systems. A real communication receiver, however, would include an additional step after the carrier demodulation: a lowpass filter to remove the I and Q signal components at frequency $4 \omega$. If we eliminate the double-carrier-frequency components, the ratio of I energy to Q energy looks like:

$$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left((\frac{1}{2})^2\right)}{\mathbb{E}(0)} = \infty$$

This is the goal of a coherent quadrature modulation receiver: signal that is placed in the in-phase (I) channel is carried into the receiver's I signal with no leakage into the quadrature (Q) signal.

Edit: I wanted to address your comments below. For a quadrature receiver, the carrier frequency would in most cases be at the center of the transmitted signal bandwidth, so instead of being bandlimited to the carrier frequency $\omega\ $, a typical communications signal would be bandpass over the interval $[\omega - \frac{B}{2}, \omega + \frac{B}{2}]$, where $B$ is its modulated bandwidth. A quadrature receiver aims to downconvert the signal to baseband as an initial step; this can be done by treating the I and Q channels as the real and imaginary components of a complex-valued signal for subsequent analysis steps.

With regard to your comment on the second-order statistics of the cyclostationary $x(t)$, you have an error. The cyclostationary nature of the signal is captured in its autocorrelation function. Let the function be $R(t, \tau)$:

$$R(t, \tau) = \mathbb{E}(x(t)x(t - \tau))$$

$$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau)))$$

$$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau)) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau))$$

Because of the whiteness of the original noise process $n(t)$, the expectation (and therefore the entire right-hand side of the equation) is zero for all nonzero values of $\tau$.

$$R(t, \tau) = \sigma^2 \delta(\tau) \sin^2(2 \omega t)$$

The autocorrelation is no longer just a simple impulse at zero lag; instead, it is time-variant and periodic because of the sinusoidal scaling factor. This causes the phenomenon that you originally observed, in that there are periods of "high variance" in $x(t)$ and other periods where the variance is lower. The "high variance" periods are selected by demodulating by a sinusoid that is coherent with the one used to modulate it, which stands to reason.