Какова фазовая и амплитудная характеристика белого шума?

Я хотел бы создать белый шум в частотной области, а затем преобразовать его во временную область, используя python. Чтобы понять проблему, я просто сгенерировал белый шум во временной области и преобразовал его в частотную область:

import scipy.signal as sg
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

e = np.random.normal(0,1,1e3)
E = sg.fft(e)

plt.figure("Bode plot")
plt.subplot(211)
plt.title("Magitude")
plt.plot(abs(E))
plt.subplot(212)
plt.title("Phase")
plt.plot(np.angle(E))
plt.show()

Я не смотрю на все как я ожидал: Вопросы:

• Разве белый шум не должен иметь отклик плоской величины? (равные суммы для всех частот)
• Какова связь между стандартным отклонением (1 в моем примере) и величиной и фазой?

Заранее спасибо!

Разве белый шум не должен иметь отклик плоской величины? (равные суммы для всех частот)

Ожидать отклик величины белого шума является плоским (это то , что JasonR называет спектральную плотность мощности). Любой конкретный случай последовательности белого шума не будет иметь точно ровный отклик (это то, что в комментарии JasonR называется спектром мощности).

Фактически, преобразование Фурье белого шума - это ... белый шум!

Какова связь между стандартным отклонением (1 в моем примере) и величиной и фазой?

$n(t)$$\sigma$

$$R_{nn}(\tau) = E[n(t)n(t+\tau)] = \sigma^2\delta(\tau)$$

$\sigma^2$

---

Вопросы из комментария:

1. Когда вы говорите, что преобразование Фурье также является белым шумом, как я могу измерить стандартное отклонение, если преобразование является сложным? Реальная, мнимая часть или какая-то комбинация?

$n[m]$$\sigma^2$

$$\begin{eqnarray} N[k] &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) + j n[m] \sin(2\pi mk/M) \end{eqnarray}$$

и ожидаемое значение:

$$\begin{eqnarray} E\left[N[k]\right] &=& E\left[\sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[n[m]\right] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& 0 \end{eqnarray}$$

Дисперсия действительной части определяется как:

$$\begin{eqnarray} E\left[ (\Re N[k])^2 \right] &=& E \left [ \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) \cdot \sum_{p=0}^{M-1} n[p] \cos(2\pi pk/M) \right ]\\ &=& E\left[ \sum_{m=0}^{M-1} \sum_{p=0}^{M-1} n[m]n[p] \delta[n-p] \cos(2\pi mk/M)\cos(2\pi pk/M) \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[ n[m]^2 \right]\cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2\sum_{m=0}^{M-1} \cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2 \left( \frac{M}{2} + \frac{\cos(M+1) 2\pi k/M \sin(2\pi Mk/M) }{ 2 \sin (2\pi k/M) } \ \ \ \right)\\ &=& \frac{\sigma^2 M}{2} \end{eqnarray}$$

Я верю, что мнимая часть будет вести себя так же.

2. Не могли бы вы рассказать мне, как длительность сигнала связана со спектральной плотностью мощности (для дискретных временных ситуаций)

Я полагаю, что (на основе приведенного выше вывода) спектральная плотность мощности (ожидаемое значение квадрата ДПФ) будет линейно масштабироваться как длительность.

3. Если std-dev не влияет на фазу, то что определяет амплитуду в 3 градуса и тип распределения (кажется, что оно равномерное, а не нормальное)

Проверьте таблицу на странице 2 этого PDF-файла . это говорит о том, что аргумент (фаза) коэффициентов будет равномерно распределен, как вы заявляете. Скриншот таблицы приведен ниже.