Какова фазовая и амплитудная характеристика белого шума?

16

Я хотел бы создать белый шум в частотной области, а затем преобразовать его во временную область, используя python. Чтобы понять проблему, я просто сгенерировал белый шум во временной области и преобразовал его в частотную область:

import scipy.signal as sg
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

e = np.random.normal(0,1,1e3)
E = sg.fft(e)

plt.figure("Bode plot")
plt.subplot(211)
plt.title("Magitude")
plt.plot(abs(E))
plt.subplot(212)
plt.title("Phase")
plt.plot(np.angle(E))
plt.show()

Я не смотрю на все как я ожидал: Боде сюжет белого шума Вопросы:

  • Разве белый шум не должен иметь отклик плоской величины? (равные суммы для всех частот)
  • Какова связь между стандартным отклонением (1 в моем примере) и величиной и фазой?

Заранее спасибо!

Uffe
источник

Ответы:

21

Разве белый шум не должен иметь отклик плоской величины? (равные суммы для всех частот)

Ожидать отклик величины белого шума является плоским (это то , что JasonR называет спектральную плотность мощности). Любой конкретный случай последовательности белого шума не будет иметь точно ровный отклик (это то, что в комментарии JasonR называется спектром мощности).

Фактически, преобразование Фурье белого шума - это ... белый шум!

Какова связь между стандартным отклонением (1 в моем примере) и величиной и фазой?

N(T)σ

рNN(τ)знак равноЕ[N(T)N(T+τ)]знак равноσ2δ(τ)

σ2


Вопросы из комментария:

  1. Когда вы говорите, что преобразование Фурье также является белым шумом, как я могу измерить стандартное отклонение, если преобразование является сложным? Реальная, мнимая часть или какая-то комбинация?

N[м]σ2

N[К]знак равноΣмзнак равно0M-1N[м]е-J2πмК/Mзнак равноΣмзнак равно0M-1N[м]соз(2πмК/M)+JN[м]грех(2πмК/M)

и ожидаемое значение:

Е[N[К]]знак равноЕ[Σмзнак равно0M-1N[м]е-J2πмК/M]знак равноΣмзнак равно0M-1Е[N[м]]е-J2πмК/Mзнак равно0

Дисперсия действительной части определяется как:

E[(N[К])2]знак равноЕ[Σмзнак равно0M-1N[м]соз(2πмК/M)Σпзнак равно0M-1N[п]соз(2πпК/M)]знак равноЕ[Σмзнак равно0M-1Σпзнак равно0M-1N[м]N[п]δ[N-п]соз(2πмК/M)соз(2πпК/M)]знак равноΣмзнак равно0M-1Е[N[м]2]соз2(2πмК/M)знак равноσ2Σмзнак равно0M-1соз2(2πмК/M)знак равноσ2(M2+соз(M+1)2πК/Mгрех(2πMК/M)2грех(2πК/M)   )знак равноσ2M2

Я верю, что мнимая часть будет вести себя так же.

  1. Не могли бы вы рассказать мне, как длительность сигнала связана со спектральной плотностью мощности (для дискретных временных ситуаций)

Я полагаю, что (на основе приведенного выше вывода) спектральная плотность мощности (ожидаемое значение квадрата ДПФ) будет линейно масштабироваться как длительность.

  1. Если std-dev не влияет на фазу, то что определяет амплитуду в 3 градуса и тип распределения (кажется, что оно равномерное, а не нормальное)

Проверьте таблицу на странице 2 этого PDF-файла . это говорит о том, что аргумент (фаза) коэффициентов будет равномерно распределен, как вы заявляете. Скриншот таблицы приведен ниже.

введите описание изображения здесь

Питер К.
источник
3
В частности, две концепции, которые вводит в заблуждение OP, - это спектральная плотность мощности белого шума и спектр мощности одной конкретной реализации случайного процесса белого шума.
Джейсон Р
Благодарность! У меня есть несколько дополнительных вопросов. 1: Когда вы говорите, что преобразование Фурье также является белым шумом, как я могу измерить стандартное отклонение, если преобразование является сложным? Реальная, мнимая часть или какая-то комбинация? 2: Не могли бы вы рассказать мне, как длительность сигнала соотносится со спектральной плотностью мощности (для дискретных временных ситуаций) 3: Если std-dev не влияет на фазу, что определяет амплитуду в 3 градуса и тип распределение (кажется равномерным, а не нормальным)
Uffe
Отлично! Это объясняет все особенности частотного отклика. Теперь мне ясно, что амплитуда фазы была не 3, аπи что стандартное отклонение действительной и мнимой частей просто зависит от количества элементов в векторе. Я также могу подтвердить экспериментально, что мнимая часть также имеет дисперсиюσ2M2,
Uffe
Это текущая ссылка на документ PDF , на которую есть ссылка выше ( radarsp.weebly.com/uploads/2/1/4/7/21471216/dft_of_noise.pdf ), которая не работает.
Гость
@ Гость Спасибо! В дальнейшем просто попробуйте отредактировать ответ с новой ссылкой. Он не будет проходить напрямую, так как он должен быть рассмотрен пользователем с более высоким повторением, но он попадет туда (и вы получите +2 представителя в процессе).
Питер К.