Как вывести стационарный фильтр-предиктор Калмана?

В своей главе, посвященной фильтрам Калмана, моя книга о DSP утверждает, казалось бы, совершенно неожиданно, что стационарный фильтр Калмана для системы

$$\begin{cases} x(t+1) &= Ax(t) + w(t) \\ y(t) &= Cx(t) + v(t) \end{cases}$$

имеет предиктор

$$\hat{x}(t+1|t) = (A-A\bar{K}C)\hat{x}(t|t-1) + A\bar{K}y(t)$$

и стационарная векторная ковариация и усиление Калмана

ˉ K = ˉ P CT(C ˉ P CT+R)-

$$\bar{P} = A\bar{P}A^T - A\bar{P}C^T ( C\bar{P}C^T + R )^{-1}C\bar{P}A^T + Q$$ $$\bar{K} = \bar{P}C^T(C\bar{P}C^T+R)^{-1}$$

где и обозначают ковариации входного шума и шума измерения соответственно.R w $Q$$R$$w$$v$

Я не вижу, как прийти к этому из предиктора минимальной дисперсии. Может ли кто-нибудь объяснить это мне или указать мне на ресурс, который выводит выражение? Это вариант минимально-дисперсионного фильтра во времени, который я могу вывести:

Р(т+1|т)=(Р(t|t-1)-P(t

$$\hat{x}(t+1|t) = (A-K(t)C)\hat{x}(t|t-1) + K(t)y(t)$$ K ( t ) = A P ( t | t - 1 ) C T ( C P ( t | t $$P(t+1|t) = A\left(P(t|t-1)-P(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T + R)^{-1}CP(t|t-1)\right)A^T+Q$$ $$K(t) = AP(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T+R)^{-1}$$

Я просто не уверен, как перейти отсюда к стационарному фильтру выше.

Обновление: я вижу, что замена и в фильтр с изменением времени приводит к стационарный фильтр, но зачем умножать на ? Является ли это просто признаком неудачного выбора нотации, означающего, что или самом деле не означают усиление Калмана?$\bar{P} = P(t+1|t) = P(t|t-1)$$K(t)=A\bar{K}$$A$$K$$\bar{K}$

Ваши выводы верны.

$\bar P = P(t|t-1)$$K(t) = A \bar K$

Это твоя путаница

1. $t|t-1$
2. Как это может быть «стационарным», если ваш вывод показывает, что время меняется?

---

1. Плохой выбор нотации на этой книгу части

$\bar P = A\bar PA^T - A\bar P C^T(C\bar P C^T + R)^{-1}C\bar PA^T + Q$$\bar P$

1. Непонимание слова «стационарный».

$P$$K$$\bar P$$\bar K$

• Предыдущие ценности самих себя
• $A$$C$$A$$C$
• $Q$$R$

$K$$P$$y$

---

Вывод:

Полученные вами «временные» уравнения были эквивалентны приведенным в книге. Кроме нотационных различий, с вашей стороны было небольшое недопонимание относительно того, что меняется, а что нет.