Как вывести стационарный фильтр-предиктор Калмана?

14

В своей главе, посвященной фильтрам Калмана, моя книга о DSP утверждает, казалось бы, совершенно неожиданно, что стационарный фильтр Калмана для системы

{Икс(T+1)знак равноAИкс(T)+вес(T)Y(T)знак равноСИкс(T)+v(T)

имеет предиктор

Икс^(T+1|T)знак равно(A-AК¯С)Икс^(T|T-1)+AК¯Y(T)

и стационарная векторная ковариация и усиление Калмана

ˉ K = ˉ P CT(C ˉ P CT+R)-1

п¯знак равноAп¯AT-Aп¯СT(Сп¯СT+р)-1Сп¯AT+Q
К¯знак равноп¯СT(Сп¯СT+р)-1

где и обозначают ковариации входного шума и шума измерения соответственно.R w vQрвесv

Я не вижу, как прийти к этому из предиктора минимальной дисперсии. Может ли кто-нибудь объяснить это мне или указать мне на ресурс, который выводит выражение? Это вариант минимально-дисперсионного фильтра во времени, который я могу вывести:

Р(т+1|т)=(Р(t|t-1)-P(t|

Икс^(T+1|T)знак равно(A-К(T)С)Икс^(T|T-1)+К(T)Y(T)
K ( t ) = A P ( t | t - 1 ) C T ( C P ( t | t -
п(T+1|T)знак равноA(п(T|T-1)-п(T|T-1)СT(Сп(T|T-1)СT+р)-1Сп(T|T-1))AT+Q
К(T)знак равноAп(T|T-1)СT(Сп(T|T-1)СT+р)-1

Я просто не уверен, как перейти отсюда к стационарному фильтру выше.

Обновление: я вижу, что замена и в фильтр с изменением времени приводит к стационарный фильтр, но зачем умножать на ? Является ли это просто признаком неудачного выбора нотации, означающего, что или самом деле не означают усиление Калмана?п¯знак равноп(T+1|T)знак равноп(T|T-1)К(T)знак равноAК¯AКК¯

Andreas
источник
Нет, невозможно «увидеть» предиктор из уравнений для системы. Я думаю, что было бы лучше, если бы вы прочитали учебник по фильтрам Калмана вместо того, чтобы просить нас вывести его для вас (что было бы просто отрыгиванием чего-то из учебника). Оптимальная фильтрация Андерсона и Мура может быть хорошим началом. Это выведено в главе 5, если я правильно помню.
Лорем Ипсум
@yoda: Спасибо. У меня был вопрос, может ли кто-нибудь указать мне лучший ресурс, чем учебник, который рекомендует мой курс, так что это ответ.
Андреас
@yoda: Кстати, в случае, если мне было неясно: я не прошу вывод из системы пространства состояний, а из фильтра Калмана с минимальной дисперсией. Я обновил вопрос, чтобы было понятнее, что я могу получить не зависящий от времени фильтр Калмана, но не стационарный.
Андреас
1
От какого текста вы получаете вышеуказанное? Если кто-то имеет к нему доступ, это может быть полезно, чтобы мы могли видеть полный контекст.
Джейсон Р

Ответы:

5

Ваши выводы верны.

п¯знак равноп(T|T-1)К(T)знак равноAК¯

Это твоя путаница

  1. T|T-1
  2. Как это может быть «стационарным», если ваш вывод показывает, что время меняется?

  1. Плохой выбор нотации на этой книгу части

п¯знак равноAп¯AT-Aп¯СT(Сп¯СT+р)-1Сп¯AT+Qп¯

  1. Непонимание слова «стационарный».

пКп¯К¯

  • Предыдущие ценности самих себя
  • AСAС
  • Qр

КпY


Вывод:

Полученные вами «временные» уравнения были эквивалентны приведенным в книге. Кроме нотационных различий, с вашей стороны было небольшое недопонимание относительно того, что меняется, а что нет.

ssk08
источник
1
Я не помню, какая у меня была проблема, когда я задавал вопрос, но теперь это имеет смысл. Благодарность!
Андреас
Я не совсем понимаю это. Как бы выглядели уравнения для нестационарного фильтра Калмана?
Санду Урсу