Как изменение размера изображения влияет на встроенную матрицу камеры?

У меня есть матрица камеры (я знаю как внутренние, так и внешние параметры), известная по изображению размером HxW. (Я использую эту матрицу для некоторых расчетов).

Я хочу использовать уменьшенное изображение, скажем: (половина оригинала). Какие изменения мне нужно внести в матрицу, чтобы сохранить то же отношение?$\frac{H}{2}\times \frac{W}{2}$

У меня есть, в качестве внутренних параметров, ( , вращение и перевод)R $K$$R$$T$

$$\text{cam} = K \cdot [R T]$$

$$K = \left( \begin{array}&a_x &0 &u_0\\0 &a_y &v_0 \\ 0 &0 &1\end{array} \right)$$

$K$ 3 * 3, я думал , умножая , , и на 0,5 (фактор изображение было изменено), но я не уверен.а у у 0 в $a_x$$a_y$$u_0$$v_0$

Примечание. Это зависит от того, какие координаты вы используете в измененном изображении. Я предполагаю, что вы используете систему с нулями (например C, в отличие от Matlab) и 0 преобразуется в 0. Кроме того, я предполагаю, что у вас нет перекоса между координатами. Если у вас есть перекос, его также нужно умножить

Краткий ответ : Предполагая, что вы используете систему координат, в которой , да, вы должны умножить на 0,5.$u' = \frac{u}{2} , v' = \frac{v}{2}$$a_x,a_y,u_0,v_0$

Подробный ответ Функция, которая преобразует точку в мировых координатах в координаты камеры :$P$$(x,y,z,1)->(u,v,S)$

$$\left( \begin{array}{ccc} a_x & 0 & u_0 \\ 0 & a_y & v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_x \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_y \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_z \\ 0 & 0& 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array} \right)$$

Где $(u,v,S)->(u/S,v/S,1)$ , поскольку координаты однородны.

Вкратце это можно записать как $u= \frac{m_1 P}{m_3 P} , v = \frac{m_2 P}{m_3 P}$
, где$M$представляет собой произведение двух матриц упоминалось выше, иявляется iой строке матрицы. (Продукт скалярный продукт).$m_i$$M$

Изменение размера изображения можно подумать о:

$$u'=u/2, v'=v/2$$

таким образом

$$u' = (1/2) \frac {M_1 P} {M_3 P} \\ v' = (1/2) \frac {M_2 P} {M_3 P}$$

Преобразование обратно в матричную форму дает нам:

$$\left( \begin{array}{ccc} 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a_x & 0 & u_0 \\ 0 & a_y & v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_x \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_y \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_z \\ 0 & 0& 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array} \right)$$

Который равен

$$\left( \begin{array}{ccc} 0.5 a_x & 0 & 0.5 u_0 \\ 0 & 0.5 a_y & 0.5 v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_x \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_y \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_z \\ 0 & 0& 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array} \right)$$

За дополнительной информацией обращайтесь к Форсайту , глава 3 - Калибровка геометрической камеры.

Андрей упомянул, что его решение предполагает, что 0 преобразуется в 0. Если вы используете пиксельные координаты, это, вероятно, неверно, когда вы изменяете размер изображения. Единственное предположение, которое вам действительно нужно сделать, это то, что преобразование вашего изображения может быть представлено матрицей 3х3 (как продемонстрировал Андрей). Чтобы обновить матрицу камеры, вы можете просто умножить ее на матрицу, представляющую преобразование вашего изображения.

[new_camera_matrix] = [image_transform]*[old_camera_matrix]

$2^n$

$x' = 2^n*(x+.5)-.5$

$y' = 2^n*(y+.5)-.5$

это может быть представлено матрицей

$\left( \begin{array}{ccc} 2^n & 0 & 2^{n-1}-.5 \\ 0 & 2^n & 2^{n-1}-.5 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

так что ваша окончательная матрица камеры будет

$\left( \begin{array}{ccc} 2^n & 0 & 2^{n-1}-.5 \\ 0 & 2^n & 2^{n-1}-.5 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} ax & 0 & u_0 \\ 0 & ay & v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$