«Преобразование Фурье не может измерять две фазы на одной частоте». Почему нет?

15

Я читал, что преобразование Фурье не может различать компоненты с одинаковой частотой, но разной фазой. Например, в Mathoverflow или xrayphysics , где я получил название моего вопроса от: «Преобразование Фурье не может измерять две фазы на одной частоте».

Почему это верно математически?

Матем ошеломлен
источник
5
Можете ли вы выделить компоненты, скажем, грех(Икс)+грех(Икс+с) ? Бьюсь об заклад, вы не можете.
Ильмари
FT находит компоненты, которые могут быть добавлены вместе, чтобы восстановить данный сигнал. Но это не значит, что эти компоненты как-то на самом деле присутствовали в оригинале. Существует бесконечно много разных способов, которыми данный сигнал мог бы быть «сконструирован», но сигнал будет иметь только один уникальный FT.
Соломон Слоу

Ответы:

30

Это потому, что одновременное присутствие двух синусоидальных сигналов с одинаковой частотой и разными фазами фактически эквивалентно одному синусоидальному сигналу на той же частоте, но с новой фазой и амплитудой, как показано ниже:

Пусть два синусодиальных компонента суммируются так:

Икс(T)знак равноaсоз(ω0T+φ)+бсоз(ω0T+θ)

Тогда из тригионометрических манипуляций можно показать, что:

x(t)=Acos(ω0t+Φ)

где

A=a2+b2+2abcos(θϕ)
и
Φзнак равнозагар-1(aгрех(φ)+бгрех(θ)aсоз(φ)+бсоз(θ))

следовательно, у вас фактически есть один синусоидальный (с новой фазой и амплитудой), и поэтому нечего отличить на самом деле ...

Fat32
источник
1
Мой мозг должен быть выключен, потому что я слежу за триггерами, но вокруг все еще кружится путаница ... ОП не добавлял их, так что оправдывает начальный шаг, когда вы их добавляете? Другими словами, если мы просто думаем о них как о двух сигналах, один из которых начинается «позже», чем другой, но они не добавлены, можем ли мы их различить? Вы должны добавить их, потому что у вас не может быть двух точек данных на одной частоте? Благодарю.
Марк Лидс
2
@markleeds, ОП не сказал, что он имел в виду оконное преобразование Фурье, и приведенные ссылки ясно указывают на обычную неоконную версию. В обычной версии анализа Фурье предполагается, что сигналы составлены в виде взвешенной суммы синусоидальных сигналов с различной фазой. Анализ состоит из получения этих весов и фаз. Коллекция их является спектром. Если вы объедините 2 синусоиды, этот глобальный анализ Фурье также не сможет различить их фазу. Тем не менее, оконное преобразование Фурье разработано для такой работы ... не то, чтобы оно делает это замечательно хорошо.
Стефан Карлссон
1
Как подсказал мой комментарий, было бы полезно добавить упоминание о оконном преобразовании Фурье. Если у @ Fat32 есть время, он мог бы упомянуть разрыв, связанный с конкатенацией 2 синусоид различной частоты, и почему мы получаем диапазон, казалось бы, случайных частот, добавляемых к глобальному преобразованию Фурье, если мы попытаемся проанализировать это.
Стефан Карлссон
2
Привет @markleeds, как уже указывал СтефанКарлссон, вопрос касался случая суперпозиции (одновременного аддитивного присутствия) этих двух синусоидальных сигналов одинаковой частоты. Обратите внимание, что фаза является относительным термином, а не абсолютным; т. е. он измеряется относительно выбранного общего (временного) источника, выше. Конкатенации (как в фазовой манипуляции) позволяет оконную дискриминацию , но вы все равно должны относиться к общему времени происхождения сказать фазовые различия в любом случае. Вот почему приемники PSK требуют строгой синхронизации времени импульса ;-)Tзнак равно0
Fat32
1
@smsc похоже на повторение, но если выходные данные этих двух кабелей добавляются и затем анализируются через FT, то вы увидите одну синусоидальную волну со сложной фазой и усилителем ... Но если вы не добавите их и не проанализируете по отдельности, тогда вы сможете сказать их относительные фазы ... И это не имеет отношения к DFT.
Fat32
1

Если вы читаете дальше, вплоть до « Упрощенная версия преобразования Фурье, которое мы обсуждали выше, не может объяснить фазовые сдвиги - как преобразование Фурье фактически делает это?» Вы заметите немного лучшее объяснение, они используют синусы и косинусы.

« Математика фазовых сдвигов (необязательно) .

Чтобы увидеть, как сдвиг фаз можно разбить на несмещенные синусы и косинусы, нам нужна тригонометрическая идентичность: sin (a + b) = sin (a) * cos (b) + cos (a) * sin ( б).

A * sin (2 * π * f * t + φ) = A * cos (φ) * sin (2 * π * f * t) + A * sin (φ) * cos (2 * π * f * t)

Как вы можете видеть, фазовый сдвиг перемещает часть амплитуды (энергии) синусоидального сигнала в косинусоидальный сигнал, но частота не изменяется. Если вы используете представление комплексных чисел преобразования Фурье, фазовый сдвиг просто представляет поворот значения в комплексной плоскости с неизменной величиной. Тот факт, что фазовые сдвиги только перемещают амплитуду от синуса к косинусу, означает, что добавление двух сигналов с одинаковой частотой и различной фазой дает сигнал с общим (средним) фазовым сдвигом на этой частоте - и без памяти компонентов ».

На практике это сложнее, см. « Частичные методы Фурье », « Фазово-сопряженная симметрия » и « FOV и k-пространство ». В « Введение в фазовое кодирование - I » они объясняют:

«... когда две синусоидальные волны (A и B) с одинаковой частотой, но разными фазами сложены вместе, в результате получается другая синусоидальная волна с той же частотой, но с другой фазой. Когда синусоидальные волны близки по фазе, они конструктивно мешают, а когда не в фазе, они разрушительно мешают.

... Глядя только на их сумму, вы просто видите синусоидальную волну определенной частоты и фазы. Из этого единственного наблюдения невозможно выделить отдельные вклады, вносимые волнами А и В.

Однако, сделав два наблюдения со смещением A и B на разные фазы, можно определить их индивидуальный вклад, взглянув только на их суммы. Это проиллюстрировано ниже на MR-изображении, где A и B - два пикселя в одном вертикальном столбце, резонирующем на одной и той же кодированной частоте (ω). В частности, на этапе 0 (базовый уровень, когда не применен градиент фазового кодирования) можно записать суммарный сигнал от A & B вместе: So (t) = A sin ωt + B sin ωt = (A + B) sin ωt.

Примените градиент фазового кодирования к фазным спинам по вертикальной оси

...

Из этого единственного измерения на шаге 1 мы все еще не знаем отдельные амплитуды A и B, только их разность (A-B). Используя информацию как из шага 0, так и из шага 1 вместе, мы можем извлечь вклад уникального сигнала с помощью простой алгебры:

½ [So + S1] = ½ [(A + B) + (A-B)] = A    и    ½ [So-S1] = ½ [(A + B) - (A-B)] = B

».

В противном случае это будет выглядеть так (изображение A):

Влияние SDPS на изображение PFI

PFI показывает артефакты из различных алгоритмов: (A) базовый алгоритм, (B) алгоритм BAX, (C) алгоритм с нулевым заполнением, (D) базовый алгоритм с использованием данных, которые ранее имели постоянную линейную коррекцию SDPS, иллюстрируя артефакты из SDPS более высокого порядка.

обкрадывать
источник
1

ссоз(ωT+φ)ре(се(ωT+φ)я)рес1соз(ωT+φ1)+с2соз(ωT+φ2)знак равноре(с1е(ωT+φ1)я+с2е(ωT+φ2)я)aеωTяре(еωTя(с1еφ1я+с2еφ2я))сеφясφ

Таким образом, хотя оба сигнала влияют на величину выходного сигнала, дополнительный сигнал не влияет на то, где в фазовом пространстве находится выходной сигнал.

Acccumulation
источник
1

Я хотел бы пойти по пути геометрической версии вопроса, используя суммы кружков.

Синусы и косинусы являются «просто» действительной и мнимой частями цисоидов, или сложными экспонентами (некоторые ссылки можно найти в разделе « Как объяснить сложную экспоненту интуитивно?» , 3D-график покачивания для аналитического сигнала: Heyser штопор / спираль , преобразование Фурье Тож ).

sω,φ(T)знак равное2πя(ωT+φ)ре(sω,0(T))знак равносоз(2πωT)ям(sω,π/2(T))знак равносоз(2πωT)ω

Гармонические круги

a1sω,φ1(T)+a2sω,φ2(T)?

a1a2е2πяφ1е2πяφ2

sω,0(T)+asω,φ(T),

|a|<1

(1)е2πя(ωT)+aе2πя(ωT+φ)

и таким образом как:

(2)(1+aе2πяφ)е2πя(ωT),

(1+aе2πяφ)αе2πяφaКруг -радиус похож на маленькое вращающееся колесо, прикрепленное к клапану (как синие и красные круги только на картинке выше). Теперь мы смотрим на движение точки по периметру маленького колеса.

1aα12

Другими словами, ни преобразование Фурье, ни человеческий глаз не могут различить компоненты с одинаковой частотой, но с разной фазой .

[[Я добавлю анимацию, если найду время]]

Лоран Дюваль
источник