«Преобразование Фурье не может измерять две фазы на одной частоте». Почему нет?

Я читал, что преобразование Фурье не может различать компоненты с одинаковой частотой, но разной фазой. Например, в Mathoverflow или xrayphysics , где я получил название моего вопроса от: «Преобразование Фурье не может измерять две фазы на одной частоте».

Почему это верно математически?

Это потому, что одновременное присутствие двух синусоидальных сигналов с одинаковой частотой и разными фазами фактически эквивалентно одному синусоидальному сигналу на той же частоте, но с новой фазой и амплитудой, как показано ниже:

Пусть два синусодиальных компонента суммируются так:

Тогда из тригионометрических манипуляций можно показать, что:

где

следовательно, у вас фактически есть один синусоидальный (с новой фазой и амплитудой), и поэтому нечего отличить на самом деле ...

Если вы читаете дальше, вплоть до « Упрощенная версия преобразования Фурье, которое мы обсуждали выше, не может объяснить фазовые сдвиги - как преобразование Фурье фактически делает это?» Вы заметите немного лучшее объяснение, они используют синусы и косинусы.

« Математика фазовых сдвигов (необязательно) .

Чтобы увидеть, как сдвиг фаз можно разбить на несмещенные синусы и косинусы, нам нужна тригонометрическая идентичность: sin (a + b) = sin (a) * cos (b) + cos (a) * sin ( б).

A * sin (2 * π * f * t + φ) = A * cos (φ) * sin (2 * π * f * t) + A * sin (φ) * cos (2 * π * f * t)

Как вы можете видеть, фазовый сдвиг перемещает часть амплитуды (энергии) синусоидального сигнала в косинусоидальный сигнал, но частота не изменяется. Если вы используете представление комплексных чисел преобразования Фурье, фазовый сдвиг просто представляет поворот значения в комплексной плоскости с неизменной величиной. Тот факт, что фазовые сдвиги только перемещают амплитуду от синуса к косинусу, означает, что добавление двух сигналов с одинаковой частотой и различной фазой дает сигнал с общим (средним) фазовым сдвигом на этой частоте - и без памяти компонентов ».

На практике это сложнее, см. « Частичные методы Фурье », « Фазово-сопряженная симметрия » и « FOV и k-пространство ». В « Введение в фазовое кодирование - I » они объясняют:

«... когда две синусоидальные волны (A и B) с одинаковой частотой, но разными фазами сложены вместе, в результате получается другая синусоидальная волна с той же частотой, но с другой фазой. Когда синусоидальные волны близки по фазе, они конструктивно мешают, а когда не в фазе, они разрушительно мешают.

... Глядя только на их сумму, вы просто видите синусоидальную волну определенной частоты и фазы. Из этого единственного наблюдения невозможно выделить отдельные вклады, вносимые волнами А и В.

Однако, сделав два наблюдения со смещением A и B на разные фазы, можно определить их индивидуальный вклад, взглянув только на их суммы. Это проиллюстрировано ниже на MR-изображении, где A и B - два пикселя в одном вертикальном столбце, резонирующем на одной и той же кодированной частоте (ω). В частности, на этапе 0 (базовый уровень, когда не применен градиент фазового кодирования) можно записать суммарный сигнал от A & B вместе: So (t) = A sin ωt + B sin ωt = (A + B) sin ωt.

...

Из этого единственного измерения на шаге 1 мы все еще не знаем отдельные амплитуды A и B, только их разность (A-B). Используя информацию как из шага 0, так и из шага 1 вместе, мы можем извлечь вклад уникального сигнала с помощью простой алгебры:

½ [So + S1] = ½ [(A + B) + (A-B)] = A    и    ½ [So-S1] = ½ [(A + B) - (A-B)] = B

».

В противном случае это будет выглядеть так (изображение A):

PFI показывает артефакты из различных алгоритмов: (A) базовый алгоритм, (B) алгоритм BAX, (C) алгоритм с нулевым заполнением, (D) базовый алгоритм с использованием данных, которые ранее имели постоянную линейную коррекцию SDPS, иллюстрируя артефакты из SDPS более высокого порядка.

$c\cos(\omega t+\phi)$$Re(ce^{(\omega t+\phi)i})$$Re$$c_1\cos(\omega t+\phi_1)+c_2\cos(\omega t+\phi_2)=Re(c_1e^{(\omega t+\phi_1)i}+c_2e^{(\omega t+\phi_2)i})$$ae^{\omega t i}$$Re(e^{\omega t i}(c_1e^{\phi_1i}+c_2e^{\phi_2i}))$$c e^{\phi i}$$c$$\phi$

Таким образом, хотя оба сигнала влияют на величину выходного сигнала, дополнительный сигнал не влияет на то, где в фазовом пространстве находится выходной сигнал.

Я хотел бы пойти по пути геометрической версии вопроса, используя суммы кружков.

Синусы и косинусы являются «просто» действительной и мнимой частями цисоидов, или сложными экспонентами (некоторые ссылки можно найти в разделе « Как объяснить сложную экспоненту интуитивно?» , 3D-график покачивания для аналитического сигнала: Heyser штопор / спираль , преобразование Фурье Тож ).

$s_{\omega,\phi}(t) = e^{2\pi i (\omega t+\phi)}$$\mathrm{Re}(s_{\omega,0}(t))=\cos(2\pi \omega t)$$\mathrm{Im}(s_{\omega,\pi/2}(t))=\cos(2\pi \omega t)$$\omega$

$a_1$$a_2$$e^{2 \pi i\phi_1}$$e^{2 \pi i\phi_2}$

$|a|<1$

и таким образом как:

$(1+ae^{2\pi i\phi})$$\alpha e^{2\pi i\varphi}$$a$Круг -радиус похож на маленькое вращающееся колесо, прикрепленное к клапану (как синие и красные круги только на картинке выше). Теперь мы смотрим на движение точки по периметру маленького колеса.

$1$$a$$\alpha$$\ref{a}$$\ref{b}$

Другими словами, ни преобразование Фурье, ни человеческий глаз не могут различить компоненты с одинаковой частотой, но с разной фазой .

[[Я добавлю анимацию, если найду время]]