Тождества преобразования Фурье

9

Мы знаем ниже,

F { x ( - t ) } = X ( - f ) F { x ( t ) } = X ( - f )

(1)F{x(t)}=X(f)
(2)F{x(t)}=X(f)
(3)F{x(t)}=X(f)

Теперь, если для какого-то сигнала

(4)x(t)=x(t)

Тогда можно ли предположить следующее?

(5)X(f)=X(f)

или это зависит от типа сигнала?

Сундар
источник
Какие-нибудь подробности, до подтверждения ответа?
Лоран Дюваль

Ответы:

13

X(f)

В целом: если оно реально в одной области, оно сопряжено симметрично в другой.

Hilmar
источник
8

Да, если уравнения (2) и (3) выполняются для любого «типа сигнала» (который они делают), тогда (5) должно выполняться.

F{x(t)}=X(f)
X(f)=X(f)

f=g

X(g)=X(g)
X(f)x(t)
Деве
источник
7

Ответы @Deve и @Hilmar технически безупречны. Я хотел бы предоставить некоторые дополнительные идеи, с несколькими вопросами.

Во-первых, знаете ли вы о сигнале, удовлетворяющем этому обратному / сопряженному тождеству :

x(t)=x(t)?

Первой очевидной идеей является выбор между реальными и симметричными сигналами. Естественным в рамках Фурье является косинус .

Теперь давайте немного усложнимся (каламбур).

i=iti.sint

teit

(называется комплексной экспоненциальной или цизоидной ) также является решением . И его преобразование Фурье (как обобщенная функция) действительно реально (хотя и «бесконечно»). Если пойти дальше, это сделает любая линейная комбинация цисоидов с реальными коэффициентами.

Ваш вопрос показывает, насколько важна двойственность Фурье и как ее использование может упростить некоторые вопросы. Как видно из СИММЕТРИИ DTFT ДЛЯ РЕАЛЬНЫХ СИГНАЛОВ :

x(n)

xtf

Сложные свойства симметрии

Это также называют Heyser штопором / спиралью .

Лоран Дюваль
источник