Тождества преобразования Фурье

Мы знаем ниже,

F { x ( - t ) } = X ( - f ) F { x ∗ ( t ) } = X ∗ ( - f

$$\mathscr{F}\big\{x(t)\big\}=X(f) \tag{1}$$ $$\mathscr{F}\big\{x(-t)\big\}=X(-f) \tag{2}$$ $$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\}=X^*(-f) \tag{3}$$

Теперь, если для какого-то сигнала

$$x(-t)=x^*(t) \tag{4}$$

Тогда можно ли предположить следующее?

$$X(-f)=X^*(-f) \tag{5}$$

или это зависит от типа сигнала?

$X(f)$

В целом: если оно реально в одной области, оно сопряжено симметрично в другой.

Да, если уравнения (2) и (3) выполняются для любого «типа сигнала» (который они делают), тогда (5) должно выполняться.

$$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\} = X(-f)$$ $$X(-f) = X^*(-f)$$

$f = - g$

$$X(g) = X^*(g)$$ $X(f)$$x(t)$

Ответы @Deve и @Hilmar технически безупречны. Я хотел бы предоставить некоторые дополнительные идеи, с несколькими вопросами.

Во-первых, знаете ли вы о сигнале, удовлетворяющем этому обратному / сопряженному тождеству :

$$x(−t)=x^*(t)\,?$$

Первой очевидной идеей является выбор между реальными и симметричными сигналами. Естественным в рамках Фурье является косинус .

Теперь давайте немного усложнимся (каламбур).

$i^*=-i$$t\to i.\sin t$

$$t\to e^{i t}$$

(называется комплексной экспоненциальной или цизоидной ) также является решением . И его преобразование Фурье (как обобщенная функция) действительно реально (хотя и «бесконечно»). Если пойти дальше, это сделает любая линейная комбинация цисоидов с реальными коэффициентами.

Ваш вопрос показывает, насколько важна двойственность Фурье и как ее использование может упростить некоторые вопросы. Как видно из СИММЕТРИИ DTFT ДЛЯ РЕАЛЬНЫХ СИГНАЛОВ :

$x(n)$

$x$$t$$f$

Это также называют Heyser штопором / спиралью .