Шум квантования для когерентной выборки - фазовый шум?

Обновление: см. Добавленные мысли в нижней части этого поста.

---

В общих условиях дискретизации, не ограниченных тем, что описано ниже (сигнал, не связанный с тактовой частотой дискретизации), шум квантования часто оценивается как равномерное распределение по одному уровню квантования. Когда два АЦП объединяются с трактами I и Q для создания выборки сложного сигнала, шум квантования имеет компоненты амплитуды и фазового шума, как смоделировано ниже. Как показано, этот шум имеет треугольное распределение, когда компоненты I и Q вносят одинаковый вклад в амплитуду и фазу, например, когда сигнал находится под углом 45 °, и однородны, когда сигнал находится на оси. Это ожидается, поскольку шум квантования для каждого I и Q не коррелирован, поэтому распределения будут свертываться, когда они оба вносят вклад в выходной результат.

Вопрос, который задают, заключается в том, значительно ли изменяется это распределение фазового шума для случаев когерентной дискретизации (предположим, что у самих тактовых импульсов дискретизации есть фазовый шум, который намного выше, поэтому не имеет значения)? В частности, я пытаюсь понять, значительно ли когерентная дискретизация уменьшит фазовый шум, связанный с квантованием. Это будет непосредственно применимо к генерации тактового сигнала, где когерентность будет легко поддерживаться.

Рассмотрим как реальные сигналы (один АЦП), так и комплексные сигналы (два АЦП; один для I и один для Q вместе, описывающие одну комплексную выборку). В случае реальных сигналов вход представляет собой синусоидальный сигнал полной шкалы, а фазовый член выводится из аналитического сигнала; джиттер, связанный с изменениями при пересечении нуля синусоидального тона, может быть примером результирующего фазового шума для реального сигнала. Для случая сложных сигналов вход представляет собой полную шкалу , где действительная и мнимая составляющие будут синусоидальными волнами в полном масштабе.$Ae^{j \omega t}$

Это связано с этим вопросом, где когерентная выборка хорошо описана, но фазовый шум специально не упоминался:

Когерентная выборка и распределение шума квантования

Чтобы более четко описать компоненты индуцированного AM и PM шума, я добавил следующую диаграмму ниже для случая комплексного квантования, показывающего комплексный вектор в непрерывном времени в данный момент выборки, и связанную квантованную выборку в виде красной точки, предполагая, что линейный равномерное распределение уровней квантования действительной и мнимой частей сигнала.

Увеличьте масштаб места, где происходит квантование на приведенном выше графике, чтобы проиллюстрировать индуцированную ошибку амплитуды и фазовую ошибку:

Таким образом, дан произвольный сигнал

$$\begin{align} s(t) &= a(t) e^{j\omega t} \\ &= a(t) \cos(\omega t) + j a(t) \sin(\omega t) \\ &= i(t) + j q(t) \\ \end{align}$$

Квантованный сигнал является ближайшей точкой расстояния, заданной

$$s_k = i_k+ j q_k$$

Где $i_k$ и представляют квантованные уровни I и Q, каждый из которых отображается в соответствии с:$q_k$

$$\mathcal{Q}\{x\} = \Delta \Bigl \lfloor \frac{x}{\Delta}+\tfrac{1}{2} \Bigr \rfloor$$

Где представляет функцию пола , и$\lfloor (\cdot) \rfloor$ представляет дискретный уровень квантования.$\Delta$

$$\begin{align} i_k = \mathcal{Q}\{i(t_k)\} \\ q_k = \mathcal{Q}\{q(t_k)\} \\ \end{align}$$

Ошибка амплитуды составляет где t k - время, за которое s ( t $|s(t_k)|-|s_k|$$t_k$$s(t)$ выборки для генерации .$s_k$

Ошибка фазы где * представляет комплексное сопряжение.$\arg\{s(t_k)\} - \arg\{s_k\} = \arg\{s(t_k) \cdot (s_k)^*\}$

Вопрос для этого поста заключается в том, какова природа фазового компонента, когда тактовая частота дискретизации соизмерима с (целым кратным) входным сигналом?

Чтобы помочь, вот некоторые смоделированные распределения амплитудных и фазовых ошибок для случая сложного квантования с 6-битным квантованием на I и Q. Для этих моделей предполагается, что фактическая "истинность" сигнала с равной вероятностью будет где-нибудь в квантовании сектор определяется как сетка, показанная на диаграмме выше. Обратите внимание, что когда сигнал проходит по одному из квадрантов (либо все I, либо все Q), распределение является равномерным, как и ожидалось в случае одного АЦП с реальными сигналами. Но когда сигнал проходит под углом 45 °, распределение является треугольным. Это имеет смысл, поскольку в этих случаях сигнал имеет равные I и Q вклады, каждый из которых является некоррелированным равномерным распределением; таким образом, эти два распределения свернуты, чтобы быть треугольными.

После поворота вектора сигнала до 0 ° гистограммы амплитуды и угла становятся намного более однородными, как и ожидалось:

---

Обновление: поскольку нам все еще нужен ответ на конкретный вопрос (нижеприведенный ответ Олли дал хорошее разъяснение о характеристиках шума, которые привели к моему обновлению треугольной и равномерной плотностей шума, но о характеристиках фазового шума под условия когерентной выборки все еще неясны), я предлагаю следующие мысли, которые могут вызвать реальный ответ или дальнейший прогресс (обратите внимание, что эти мысли могут быть ошибочными, но в интересах получения ответа, которого у меня еще нет):

Обратите внимание, что в условиях когерентной выборки частота дискретизации является целым числом, кратным входной частоте (и также фазовой синхронизации). Это означает, что всегда будет целое число выборок, когда мы поворачиваем один раз через комплексную плоскость для сложного сигнала и выборки, или целое число выборок одного цикла синусоиды для реального сигнала и выборки (одиночный АЦП).

И, как описано, мы предполагаем случай, когда сами часы дискретизации намного лучше, поэтому не рассматриваются как вклад. Поэтому образцы будут каждый раз находиться в одном и том же месте.

Рассматривая случай реального сигнала, если бы при определении фазового шума нас интересовали только пересечения нуля, результатом когерентной выборки будет только фиксированный, но постоянный сдвиг задержки (хотя у нарастающего и падающего фронтов могут быть разные задержки когда когерентность является нечетным целым числом). Ясно, что в случае сложной выборки мы имеем дело с фазовым шумом в каждой выборке, и я подозреваю, что это будет то же самое и для реального случая (мое подозрение, что задержка выборки в любой момент от «истины» будет компонент фазового шума, но тогда я запутываюсь, если я дважды подсчитываю разницу между амплитудами ...) Если у меня будет время, я смоделирую это, так как все искажения будут отображаться на целочисленных гармониках входного сигнала с учетом повторяющегося шаблона в течение одного цикл, и тест фазы против амплитуды будет относительной фазой гармоник по сравнению с фундаментальной - что было бы интересно увидеть с помощью моделирования или вычисления, если бы сумма этих гармоник (которые для реального сигнала имели бы все сложные сопряженные аналоги) была бы в квадратуре с основной или в фазе, и, таким образом, показано, что все фазовые шумы, все амплитудные шумы или их совокупность. (Разница между четным числом выборок и нечетным может повлиять на это).

В случае сложного, рисунок Олли, который был сделан с соразмерным количеством образцов, может добавить дополнительное понимание, если он показал местоположение образца на «истине», которая связана с каждым показанным квантованным образцом. Снова я вижу возможность интересной разницы, если есть нечетное или четное количество выборок (его графика была четной, и я наблюдаю симметрию, которая получается, но дальше не могу видеть, что это может сделать для фазы в зависимости от амплитудного шума). Однако мне кажется ясным, что шумовые компоненты в реальных и сложных случаях будут существовать только на целочисленных гармониках основной частоты, когда выборка когерентна. Таким образом, даже если фазовый шум все еще может существовать, как я подозреваю, он существует, его расположение на целочисленных гармониках гораздо более благоприятно для устранения последующей фильтрацией.

(Примечание: это применимо к генерации опорных тактовых сигналов высокой спектральной чистоты.)

У меня есть сомнения по поводу (Edit: это было позже удалено из вопроса):

Можно предположить, что распределение этих компонентов шума AM и PM является равномерным, если входной сигнал некоррелирован с тактовой частотой дискретизации.

$$\operatorname{signal}(t) = \cos(t) + j\sin(t)$$ $$\operatorname{quantized\_signal}(t) = \frac{\operatorname{round}\big(N\cos(t)\big)}{N} + j\times\frac{\operatorname{round}\big(N\sin(t)\big)}{N}$$

$1/N$$N = 5$

$N=5$$a\operatorname{signal}(t) + (1-a)\operatorname{quantized\_signal}(t)$$a = \left[\frac{1}{5}, \frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right].$

Ошибка в фазе из-за ошибки квантования:

$$\operatorname{phase\_error}(t) = \operatorname{atan}\Big(\operatorname{Im}\big(\operatorname{quantized\_signal}(t)\big), \operatorname{Re}\big(\operatorname{quantized\_signal}(t)\big)\Big)\\- \operatorname{atan}\Big(\operatorname{Im}\big(\operatorname{signal}(t)\big), \operatorname{Re}\big(\operatorname{signal}(t)\big)\Big) \\= \operatorname{atan}\Big(\operatorname{round}\big(N\sin(t)\big), \operatorname{round}\big(N\cos(t)\big)\Big) - \operatorname{atan}\big(N\sin(t), N\cos(t)\big) \\= \operatorname{atan}\Big(\operatorname{round}\big(N\sin(t)\big), \operatorname{round}\big(N\cos(t)\big)\Big) - \operatorname{mod}(t-\pi, 2\pi) + \pi$$

Вычитать обернутые фазы рискованно, но в этом случае это работает.

$\operatorname{phase\_error}(t)$$N = 5$

$t$$\operatorname{phase\_error}(t),$$\operatorname{phase\_error}(t)$

$N$$N,$$N$распределения ошибок I и Q одинаковы, а ошибки фазы и величины являются псевдослучайными числами, полученными из распределений, которые зависят от фазы сигнала. Зависимость от фазы существует, потому что прямоугольная сетка квантования имеет ориентацию.

$N,$$\arcsin$$\alpha$$\alpha$$\alpha + \pi/2$

$$\big[(1/2, 1/2),\quad(-1/2, 1/2),\quad(-1/2, -1/2),\quad(1/2, -1/2)\big]$$

Вращение этих координат или эквивалентная проекция их на оси пропорциональной фазовой ошибки и пропорциональной величины дает для обеих одинаковых кусочно-линейных линейных функций плотности вероятности с узлами:

$$\left[\frac{\cos(\alpha)}{2} - \frac{\sin(\alpha)}{2},\quad \frac{\cos(\alpha)}{2} + \frac{\sin(\alpha)}{2},\quad -\frac{\cos(\alpha)}{2} + \frac{\sin(\alpha)}{2},\quad -\frac{\cos(\alpha)}{2} - \frac{\sin(\alpha)}{2}\right] = \left[\sqrt{2}\cos(\alpha + \pi/4),\quad \sqrt{2}\sin(\alpha + \pi/4),\quad -\sqrt{2}\cos(\alpha + \pi/4),\quad -\sqrt{2}\sin(\alpha + \pi/4)\right]$$

$\alpha$$\alpha \in \{-\pi, -\pi/2, 0, \pi/2, \pi\}$PDF является прямоугольным. Некоторые узлы объединяются также в$\alpha \in \{-3\pi/4, -\pi/4, \pi/4, 3\pi/4\}$ дать треугольный PDF с наихудшим$N$ асимптотическая оценка 1) максимальная абсолютная ошибка величины $\sqrt{2}/2$ шаги квантования и 2) максимальная абсолютная фазовая ошибка $\sqrt{2}/2$ раз $\arcsin$ шага квантования.

На промежуточных этапах PDF выглядит, например, так:

Рисунок 4. Общий PDF в $\alpha = \pi/8.$

Как предположил Дэн, PDF также является сверткой прямоугольных PDF ошибок I и Q, спроецированных на оси амплитуды и фазовой ошибки. Ширина одного из проецируемых PDF-файлов$|\cos(\alpha)|$, а ширина другого $|\sin(\alpha)|$, Их объединенная дисперсия$\cos^2(\alpha)/12 + \sin^2(\alpha)/12 = 1/12,$ униформа $\alpha$,

Могут быть некоторые «псевдослучайные» комбинации начальной фазы и рационального числового отношения частоты комплексной синусоиды и частоты дискретизации, которые дают только небольшую ошибку для всех выборок в повторяющейся последовательности. Из-за симметрии ошибок, показанных на рис. 1, в смысле максимальной абсолютной погрешности эти частоты имеют преимущество, для которого число точек, посещаемых на окружности, кратно 2, потому что удача (низкая ошибка) необходима при только половина очков. Ошибки в остальных точках являются дубликатами того, что они есть в первых, со смещением знака. По крайней мере, кратные 6, 4 и 12 имеют еще большее преимущество. Я не уверен, каково точное правило здесь, потому что это не похоже на то, чтобы быть кратным чему-то. Это' Что-то о симметрии сетки в сочетании с арифметикой по модулю. Тем не менее, псевдослучайные ошибки являются детерминированными, поэтому исчерпывающий поиск выявляет лучшие механизмы. Найти лучшие схемы в смысле среднеквадратичной (RMS) абсолютной ошибки проще всего:

Рисунок 5. Вверху) Минимально возможные среднеквадратичные ошибки абсолютного квантования в комплексном генераторе IQ для различных битовых глубин генератора с использованием квадратной сетки квантования . Исходный код для исчерпывающего поиска псевдослучайных аранжировок находится в конце ответа. Внизу) Деталь, показывающая для сравнения (светло-синий)$N\to\infty$ асимптотическая оценка среднеквадратичной абсолютной ошибки квантования, $\sqrt{1/6}/N,$ за $N=2^k-1,$ где $k+1$ количество бит осциллятора.

Амплитуда самой заметной частоты ошибок никогда не превышает среднеквадратичную абсолютную ошибку. Для 8-разрядного осциллятора особенно хорошим выбором являются$12$ точки, расположенные примерно на единичной окружности:

$$\frac{\{(0, \pm112),\quad (\pm112, 0),\quad (\pm97, \pm56),\quad (\pm56, \pm97)\}}{112.00297611139371}$$

Дискретная комплексная синусоида, которая проходит через эти точки в комплексной плоскости в возрастающем угловом порядке, имеет только искажение 5-й гармоники, и это в $-91.5$ дБ по сравнению с фундаментальным, что подтверждается исходным кодом Octave в конце ответа.

Чтобы получить низкую среднеквадратическую абсолютную ошибку квантования, частоты не должны проходить через точки по порядку, как в приближенных фазах $[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]\cdot 2\pi/12$ для частоты $1/12$раз частота дискретизации. Например, частота$5/12$ раз частота дискретизации будет проходить через те же точки, но в другом порядке: $[0, 5, 10, 3, 8, 1, 6, 11, 4, 9, 2, 7]\cdot 2\pi/12$, Я думаю, что это работает, как это происходит, потому что 5 и 12 взаимно просты .

При возможных идеальных схемах погрешность может быть точно равна нулю во всех точках, если частота синусоиды составляет одну четвертую частоты дискретизации (приращение фазы $\pi/2$за образец). На квадратной сетке нет других таких совершенных аранжировок . На шестиугольной сетке или на неквадратной прямоугольной сетке с одной из осей I или Q, растянутой с коэффициентом$\sqrt{3}$ (при этом он эквивалентен каждой второй строке в сотовой сетке), приращение фазы $\pi/3$за образец будет работать отлично. Такое масштабирование может быть сделано в аналоговой области. Это увеличивает количество осей симметрии сетки, что приводит к наиболее благоприятным изменениям псевдослучайных схем:

Рис. 6. Минимально допустимые среднеквадратичные погрешности квантования в комплексном генераторе IQ для различных битовых глубин генератора с использованием прямоугольной сетки квантования с одной из осей, масштабируемой по$\sqrt{3}$,

Примечательно, что для 8-разрядного генератора с 30 точками на окружности наименьшая возможная абсолютная ошибка среднеквадратичного отклонения составляет -51,3 дБ на квадратной сетке и -62,5 дБ на неквадратной прямоугольной сетке, где самая низкая среднеквадратичная ошибка псевдослучайная последовательность имеет ошибку:

Рисунок 7. Значения ошибки в плоскости IQ 8-битной псевдолюсной последовательностью длины 30 используют преимущества осей симметрии, найденных в сетке квантования, растянутой с коэффициентом $\sqrt{3}$по горизонтали. Точки происходят только из трех псевдослучайных комплексных чисел, перевернутых вокруг осей симметрии.

У меня нет практического опыта с тактовыми сигналами IQ, поэтому я не уверен, какие вещи имеют значение. При генерации синхросигнала с использованием цифроаналогового преобразователя (ЦАП) я подозреваю, что, если не использовать хорошие псевдослучайные схемы, лучше иметь более низкий минимальный уровень белого шума, чем иметь спектр гармонических шумов с более высоким пики, возникающие из-за повторяющейся последовательности ошибок квантования (см. Когерентный отбор и распределение шумов квантования ). Эти спектральные пики, так же как и белый шум, могут протекать через паразитную емкость и иметь нежелательные эффекты в других частях системы или влиять на электромагнитную совместимость (ЭМС) устройства. По аналогии, технология с расширенным спектром улучшает ЭМС, превращая пики спектра в нижний пиковый уровень шума.

Исходный код для полного поиска псевдослучайного расположения в C ++ следует. Вы можете запустить его в одночасье, чтобы найти наилучшие варианты, по крайней мере, для 16-битных генераторов для$1 \le M \le 100$,

// Compile with g++ -O3 -std-c++11

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <complex>
#include <float.h>
#include <algorithm>

// N = circle size in quantization steps
const int maxN = 127;
// M = number of points on the circle
const int minM = 1; 
const int maxM = 100;
const int stepM = 1;
// k = floor(log2(N))
const int mink = 2;
const double IScale = 1; // 1 or larger please, sqrt(3) is very lucky, and 1 means a square grid

typedef std::complex<double> cplx;

struct Arrangement {
  int initialI;
  int initialQ;
  cplx fundamentalIQ;
  double fundamentalIQNorm;
  double cost;
};

int main() {
  cplx rotation[maxM+1];
  cplx fourierCoef[maxM+1];
  double invSlope[maxM+1];
  Arrangement bestArrangements[(maxM+1)*(int)(floor(log2(maxN))+1)];
  const double maxk(floor(log2(maxN)));
  const double IScaleInv = 1/IScale;
  for (int M = minM; M <= maxM; M++) {
    rotation[M] = cplx(cos(2*M_PI/M), sin(2*M_PI/M));
    invSlope[M] = tan(M_PI/2 - 2*M_PI/M)*IScaleInv;
    for (int k = 0; k <= maxk; k++) {
      bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost = DBL_MAX;
      bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm = 1;
    }
  }
  for (int M = minM; M <= maxM; M += stepM) {
    for (int m = 0; m < M; m++) {
      fourierCoef[m] = cplx(cos(2*M_PI*m/M), -sin(2*M_PI*m/M))/(double)M;
    }
    for (int initialQ = 0; initialQ <= maxN; initialQ++) {
      int initialI(IScale == 1? initialQ : 0);
      initialI = std::max(initialI, (int)floor(invSlope[M]*initialQ));
      if (initialQ == 0 && initialI == 0) {
    initialI = 1;
      }
      for (; initialI*(int_least64_t)initialI  <= (2*maxN + 1)*(int_least64_t)(2*maxN + 1)/4 - initialQ*(int_least64_t)initialQ; initialI++) {
    cplx IQ(initialI*IScale, initialQ);
    cplx roundedIQ(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
        cplx fundamentalIQ(roundedIQ*fourierCoef[0].real());
    for (int m = 1; m < M; m++) {
      IQ *= rotation[M];
      roundedIQ = cplx(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
          fundamentalIQ += roundedIQ*fourierCoef[m];
    }
    IQ = fundamentalIQ;
    roundedIQ = cplx(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
    double cost = norm(roundedIQ-IQ);
    for (int m = 1; m < M; m++) {
      IQ *= rotation[M];
      roundedIQ = cplx(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
      cost += norm(roundedIQ-IQ);
    }
    double fundamentalIQNorm = norm(fundamentalIQ);
    int k = std::max(floor(log2(initialI)), floor(log2(initialQ)));
    //  printf("(%d,%d)",k,initialI);
    if (cost*bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm < bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost*fundamentalIQNorm) {
      bestArrangements[M+(maxM+1)*k] = {initialI, initialQ, fundamentalIQ, fundamentalIQNorm, cost};
    }
      }
    }
  }
  printf("N");
  for (int k = mink; k <= maxk; k++) {
    printf(",%d-bit", k+2);
  }
  printf("\n");
  for (int M = minM; M <= maxM; M += stepM) {
    printf("%d", M);
    for (int k = mink; k <= maxk; k++) {
      printf(",%.13f", sqrt(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost/bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm/M));
    }
    printf("\n");
  }

  printf("bits,M,N,fundamentalI,fundamentalQ,I,Q,rms\n");
  for (int M = minM; M <= maxM; M += stepM) {
    for (int k = mink; k <= maxk; k++) {
      printf("%d,%d,%.13f,%.13f,%.13f,%d,%d,%.13f\n", k+2, M, sqrt(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm), real(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQ), imag(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQ), bestArrangements[M+(maxM+1)*k].initialI, bestArrangements[M+(maxM+1)*k].initialQ, sqrt(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost/bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm/M));
    }
  }
}

Пример выходных данных, описывающий первый пример последовательности, найденной с IScale = 1:

bits,M,N,fundamentalI,fundamentalQ,I,Q,rms
8,12,112.0029761113937,112.0029761113937,0.0000000000000,112,0,0.0000265717171

Пример выходных данных, описывающих последовательность второго примера, найденную с помощью IScale = sqrt(3):

8,30,200.2597744568315,199.1627304588310,20.9328464782995,115,21,0.0007529202390

Октавный код для тестирования первого примера последовательности:

x = [112+0i, 97+56i, 56+97i, 0+112i, -56+97i, -97+56i, -112+0i, -97-56i, -56-97i, 0-112i, 56-97i, 97-56i];
abs(fft(x))
20*log10(abs(fft(x)(6)))-20*log10(abs(fft(x)(2)))

Октавный код для тестирования второго примера последовательности:

x = exp(2*pi*i*(0:29)/30)*(199.1627304588310+20.9328464782995i);
y = real(x)/sqrt(3)+imag(x)*i;
z = (round(real(y))*sqrt(3)+round(imag(y))*i)/200.2597744568315;
#Error on IQ plane
star = z-exp(2*pi*i*(0:29)/30)*(199.1627304588310+20.9328464782995i)/200.2597744568315;
scatter(real(star), imag(star));
#Magnitude of discrete Fourier transform
scatter((0:length(z)-1)*2*pi/30, 20*log10(abs(fft(z))/abs(fft(z)(2)))); ylim([-120, 0]);
#RMS error:
10*log10((sum(fft(z).*conj(fft(z)))-(fft(z)(2).*conj(fft(z)(2))))/(fft(z)(2).*conj(fft(z)(2))))