Как построить фазовращатель с произвольным фазовым сдвигом

Фред, инженер DSP, идет в свой любимый магазин DSP, чтобы сделать покупки.

Фред: Привет, я хотел бы купить фазовращатель.

Продавец: Хм, что именно вы имеете в виду?

Фред: Ну, вы знаете, если вы добавите синусоиду типа вы получите y ( t ) = sin ( ω 0 t - θ ) на выходе для любого ω 0 . И, конечно, θ должен быть регулируемым.$x(t)=\sin(\omega_0t)$$y(t)=\sin(\omega_0t-\theta)$$\omega_0$$\theta$

Продавец: О, понятно. Извините, нет, у нас их нет. Но я помню других ребят, которым нужно то же самое, и они всегда покупают трансформатор Гильберта, пару умножителей и сумматор, и они каким-то образом соединяют все эти вещи вместе, чтобы сделать регулируемый фазовращатель.

Фред: Ах да, верно!

Фред делает вид, что понимает, о чем говорит парень. Конечно, он понятия не имеет, как это сделать. Он покупает все, что, по словам парня, ему нужно, и сам думает, что может выяснить это дома или, если все остальное не получится, он может спросить об этом в DSP.SE.

Как Фред может построить фазовращатель с регулируемым фазовым сдвигом используя компоненты, которые он приобрел в магазине?$\theta$

Хороший вопрос! Он использует один из моих любимых триггерных идентификаторов (который также может быть использован, чтобы показать, что квадратурная модуляция фактически является одновременной амплитудной и фазовой модуляцией).

Преобразование Гильберта в есть - cos ( 2 π f 0 t ) . Кроме того , грех ( 2 π е 0 т + θ ) = грех ( 2 π е 0 т ) + б сов ( 2 π е 0 т $\sin(2\pi f_0t)$$-\cos(2\pi f_0t)$

$$\sin(2\pi f_0t+\theta)=a\sin(2\pi f_0t)+b\cos(2\pi f_0t)$$ (ограничены в ) с θ = atan2 ( b , a ) . Это предполагает один из возможных подходов. Скажем, Фреду нужно θ = 2,1 радиана. Он вычисляет tan ( 2.1 ) ≈ - 1.71 . Затем ему нужно найти a и b такие, что a 2 + b 2 = 1 и b / a = - 1.71 , с a < 0 и b > $a^2+b^2=1$$\theta=\text{atan2}(b,a)$$\theta=2.1$$\tan(2.1)\approx-1.71$$a$$b$$a^2+b^2=1$$b/a=-1.71$$a<0$$b>0$ , что является простой задачей алгебры. Установите , б 0 = $a_0=-1$$b_0=1.71$ , ,a=a0/nиb=b0/n. Затем Фред может легко генерировать синус с желаемой фазой с использованием преобразователя Гильберта, два умножителем, два источника постоянного тока (один набор для$n=\sqrt{a_0^2+b_0^2}$$a=a_0/n$$b=b_0/n$$a$ вольт , а другой вольт, чтобы заботиться о знаке косинуса), и один сумматор$-b$

Импульсный отклик системы, описанной выше, дается:

$a\delta(t)+\frac{b}{\pi t}$

Блок-схема:

MBaz ответ правильный. Я просто хотел бы добавить другой способ думать об этом, конечно, приводя к тому же результату:

$\theta$

$$H(\omega)=\begin{cases}e^{-j\theta},&\omega>0\\e^{j\theta},&\omega<0\end{cases}$$ $$H(\omega)=e^{-j\theta\text{sign}(\omega)}=\cos(\theta)-j\,\text{sign}(\omega)\sin(\theta)$$ $G(\omega)=-j\,\text{sign}(\omega)$$g(t)=\frac{1}{\pi t}$ $$h(t)=\cos(\theta)\delta(t)+\sin(\theta)\frac{1}{\pi t}$$ $\sin(\theta)$$\cos(\theta)$ соответственно.

$2N+1$$N$