Почему реальная часть БПФ преобразует изображение в поворот + оригинал?

16

Я прочитал это изображение:

взял его БПФ (2D), а затем обратное БПФ, чтобы получить точно изображение обратно. Код предоставляется для справки:

imfft = fft2(photographer);
im = uint8(ifft2(imfft));

imshow(im); %Output is same image

Но когда я меняю фурье и принимаю только реальную роль,

imfft = real(fft2(photographer));
im = uint8(ifft2(imfft));
imshow(im);

Я получаю изображение как это ( обратите внимание, что изменение размера не имеет значения и только из-за сохранения его из обработчика фигур Matlab ):

Может кто-нибудь объяснить мне теорию (математику) за этим? Благодарность

image-processing fft fourier-transform Неудачный Ученый
источник

16

Допустим, ваше изображение задано . Тогда его преобразование Фурье дается $I(x,y)$

я^{е} (ω_{Икс}, ω_{Y}) знак равно \int_{Икс} \int_{Y} я (Икс, Y) е^{J ω_{Икс} Икс} е^{J ω_{Y} Y} d Икс d Y

$I^f(\omega_x,\omega_y) = \int_x\int_yI(x,y)e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}dxdy$

Теперь вы принимаете реальную часть и выполняете обратное:

\begin{aligned} я_{м} (α, β) & знак равно \int_{ω_{Икс}} \int_{ω_{Y}} ℜ {я^{е} (ω_{Икс}, ω_{Y})} е^{J ω_{Икс} α} е^{J ω_{Y} β} d ω_{Икс} d ω_{Y} \\ знак равно \int_{ω_{Икс}} \int_{ω_{Y}} ℜ {\int_{Икс} \int_{Y} я (Икс, Y) е^{J ω_{Икс} Икс} е^{J ω_{Y} Y} d Икс d Y} е^{J ω_{Икс} α} е^{J ω_{Y} β} d ω_{Икс} d ω_{Y} \\ знак равно \int_{Икс} \int_{Y} я (Икс, Y) \int_{ω_{Икс}} \int_{ω_{Y}} ℜ {е^{J ω_{Икс} Икс} е^{J ω_{Y} Y}} е^{J ω_{Икс} α} е^{J ω_{Y} β} d ω_{Икс} d ω_{Y} d Икс d Y \end{aligned}

$\begin{align} I_m(\alpha,\beta) &= \int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{I^f(\omega_x,\omega_y)\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_y \\ &= \int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{\int_x\int_yI(x,y)e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}dxdy\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_y\\ &= \int_x\int_yI(x,y)\int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_ydxdy \end{align}$

Вы можете ясно видеть, что внутренний интеграл является двумерным преобразованием Фурье который является

соз (ω_{Икс} Икс) соз (ω_{Y} Y) + грех (ω_{Икс} Икс) грех (ω_{Y} Y)

$\cos(\omega_xx)\cos(\omega_yy) + \sin(\omega_xx)\sin(\omega_yy)$

\frac{1}{2} [δ (Икс - α) δ (Y - β) + δ (Икс + α) δ (Y + β)]

$\frac{1}{2}\left[\delta(x-\alpha)\delta(y-\beta) + \delta(x+\alpha)\delta(y+\beta)\right]$

Подстановка результата в дает $I_m$

я_{м} (Икс, Y) знак равно \frac{1}{2} [я (Икс, Y) + я (- Икс, - Y)]

$I_m(x,y) = \frac{1}{2}\left[I(x,y)+I(-x,-y)\right]$

Конечно, в вашем случае , однако дискретное преобразование Фурье предполагает, что ваш сигнал периодический, и вы получаете где - размеры вашего изображения. Я думаю, теперь вы понимаете, почему вы получили такой результат. $x,y>0$ $N$

я_{м} (Икс, Y) знак равно \frac{1}{2} [я (Икс, Y) + я (N - Икс, M - Y)]

$I_m(x,y) = \frac{1}{2}\left[I(x,y)+I(N-x,M-y)\right]$

N, M

$N,M$

THP
источник

Хороший ответ! +1

Питер К.

3

I think you can see now why got that result.Да. Однако, так как этот вопрос попал в список HNQ, возможно, вы бы рассмотрели добавление последнего шага для тех, кто приходит с менее математически настроенных сайтов.

Мачта

9

Предоставленный результат ThP также можно сформулировать в очень простых терминах: если у вас есть набор данных, который является чисто вещественным, его (обратное) преобразование Фурье будет иметь эрмитову симметрию: если вы найдете значение в позиции , то Вы найдете комплексное сопряженное значение в точечно-отраженной позиции относительно начала координат. Обратите внимание, что источником здесь будет центр фурье-пространства. Конечно, это можно переформулировать, если компонент DC не находится в центре вашей реализации FFT. И это то, что вы видите на своем изображении: точечно-отраженная версия накладывается на истинное изображение - потому что вы вынудили одно пространство быть реальным. $z$ $(x,y)$ $z^*$ $(-x,-y)$

Это свойство фактически используется для ускорения магнитно-резонансной томографии (МРТ) в некоторых случаях: МРТ получает данные непосредственно в фурье-пространстве. Поскольку идеальное МР-изображение можно описать только действительными значениями (все возбужденные векторы намагниченности имеют фазу 0), вам нужно только получить половину пространства данных, что экономит вам половину времени визуализации. Конечно, МР-изображения не являются полностью реальными из-за ограничений реальности ... но с помощью нескольких приемов вы все равно можете с выгодой использовать эту технику.

M529
источник

2

Мне понравился простой способ сформулировать тот же ответ, который предоставил ThP. И спасибо за информацию о МРТ. Не знал об этом.

Неудачный Ученый

Почему реальная часть БПФ преобразует изображение в поворот + оригинал?

Ответы: