Что обозначает частотная область в случае изображений?

Я только что узнал о частотной области в изображениях.

Я могу понять частотный спектр в случае волн. Он обозначает, какие частоты присутствуют в волне. Если мы рисуем частотный спектр , мы получаем импульсный сигнал при и . И мы можем использовать соответствующие фильтры для извлечения конкретной информации.- f + $\cos(2\pi f t)$$-f$$+f$

Но что означает частотный спектр в случае изображений? Когда мы берем БПФ изображения в OpenCV, мы получаем странную картину. Что обозначает это изображение? И каково его применение?

Я читал некоторые книги, но они дают много математических уравнений, а не физическое значение. Так может ли кто-нибудь дать простое объяснение частотной области в изображениях с простым применением его в обработке изображений?

Но что означает частотный спектр в случае изображений?

«Математические уравнения» важны, поэтому не пропускайте их полностью. Но 2-е БПФ также имеет интуитивную интерпретацию. Для иллюстрации я рассчитал обратное БПФ нескольких образцов изображений:

Как видите, в частотной области установлен только один пиксель. Результатом в области изображения (я только отображал действительную часть) является «повернутый косинус» (мнимой частью будет соответствующий синус).

Если я установлю другой пиксель в частотной области (на левой границе):

Я получаю другую 2d частоту.

Если я установил более одного пикселя в частотной области:

Вы получаете сумму двух косинусов.

Таким образом, как 1-мерная волна, которая может быть представлена ​​в виде суммы синусов и косинусов, любое 2-мерное изображение может быть представлено (свободно говоря) в виде суммы «повернутых синусов и косинусов», как показано выше.

когда мы берем FFT изображения в opencv, мы получаем странную картину. Что обозначает это изображение?

Он обозначает амплитуды и частоты синусов / косинусов, которые при сложении дадут вам исходное изображение.

И каково его применение?

Их действительно слишком много, чтобы назвать их всех. Корреляция и свертка могут быть очень эффективно рассчитаны с использованием БПФ, но это скорее оптимизация, вы не «смотрите» на результат БПФ для этого. Он используется для сжатия изображений, потому что высокочастотные составляющие обычно являются просто шумом.

Я думаю, что это было очень хорошо изложено в хорошо известном «Руководстве по DSP» ( глава 24, раздел 5 ):

Фурье-анализ используется в обработке изображений практически так же, как и для одномерных сигналов. Однако изображения не имеют своей информации, закодированной в частотной области, что делает методы намного менее полезными. Например, когда выполняется преобразование Фурье для аудиосигнала, запутанная форма волны во временной области преобразуется в простой для понимания частотный спектр.

Для сравнения, преобразование Фурье изображения преобразует прямую информацию в пространственной области в скремблированную форму в частотной области. Короче говоря, не ожидайте, что преобразование Фурье поможет вам понять информацию, закодированную в изображениях.

Таким образом, есть, конечно, некоторая структура и значение за кажущимся случайным шаблоном, полученным путем взятия ДПФ типичного изображения (такого как пример ниже), но это не в форме, которую человеческий мозг готов понять интуитивно, по крайней мере, в отношении визуального восприятия.

Вот еще одно интересное и вполне читаемое изложение того, что содержится в преобразовании Фурье изображения и как его можно интерпретировать. У него есть серия изображений, которые ясно дают понять, как соотносится преобразованное Фурье и исходное изображение.

редактировать: взгляните также на эту страницу , которая демонстрирует - ближе к концу - как большая часть воспринимаемой важной информации изображения хранится в фазовом (угловом) компоненте частотного представления.

правка 2: еще один пример значения фазы и величины в представлении Фурье: «Раздел 3.4.1, Важность фазы и величины» из учебника Делфу « Основы обработки изображений » демонстрирует это довольно четко:

Волна является одномерной волной; это зависит только от . Волна является двумерной волной. Это зависит от и . Как видите, у вас есть две частоты в любом направлении.$f(t)=cos (ωt)$$t$$f(x,y)=cos(ωx+ψy)$$x$$y$

Следовательно, преобразование Фурье (БПФ) для даст вам , так же как БПФ для даст вам . И если ваш вход представляет собой функцию суммирования 2D-косинусов, то ваш 2D-БПФ будет суммой частот этих косинусов - опять же прямой аналог 1D-БПФ.$cos(ωx+ψy)$$ω,ψ$$cos(ωx)$$ω$

Возможно, стоит отметить, что анализ Фурье является частным случаем концепции, называемой ортогональными функциями . Основная идея состоит в том, что вы разбиваете сложный сигнал на линейную суперпозицию более простых «базовых» функций. Вы можете выполнить обработку или анализ с помощью базовых функций, а затем суммировать результаты для базовых функций, чтобы получить результат для исходного сигнала.

Для того, чтобы это работало, существуют определенные математические требования к базисным функциям, т.е. они идеально образуют ортонормированную базу. В случае преобразования Фурье базисные функции являются комплексными экспонентами. Тем не менее, есть много других функций, которые также могут быть использованы для этого.

В изображениях увеличение частоты связано с более резкими переходами по яркости или цвету. Кроме того, шум обычно внедряется в верхнюю часть спектра, поэтому фильтрация нижних частот может использоваться для уменьшения шума.

в этом контексте очень хорошая демонстрация: http://bigwww.epfl.ch/demo/basisfft/index.html