Я понимаю преобразование Фурье, которое является математической операцией, которая позволяет вам видеть частотный состав данного сигнала. Но сейчас в моем комм. Конечно, профессор представил преобразование Гильберта.

Я понимаю, что это в некоторой степени связано с частотным контентом, учитывая тот факт, что преобразование Гильберта умножает БПФ на знак $-j\operatorname{sign}(W(f))$ или сворачивает временную функцию с $1/\pi t$ .

В чем смысл преобразования Гильберта? Какую информацию мы получаем, применяя это преобразование к данному сигналу?

Одним из применений преобразования Гильберта является получение так называемого аналитического сигнала. Для получения сигнала $s(t)$ , его преобразование Гильберта S ( т ) определяется как композиция:$\hat{s}(t)$

Получаемый нами аналитический сигнал имеет комплексное значение, поэтому мы можем выразить его в экспоненциальной записи:

где:

$A(t)$ - мгновенная амплитуда (огибающая)

$\psi(t)$ - мгновенная фаза.

Так как они полезны?

Мгновенная амплитуда может быть полезна во многих случаях (она широко используется для нахождения огибающей простых гармонических сигналов). Вот пример для импульсного отклика:

Во-вторых, исходя из фазы, мы можем рассчитать мгновенную частоту:

Что опять-таки полезно во многих приложениях, таких как определение частоты стремительного тона, вращение двигателей и т. Д.

Другие примеры использования включают в себя:

• Выборка узкополосных сигналов в телекоммуникациях (в основном с использованием фильтров Гильберта).

• Медицинская визуализация.

• Обработка массива для направления прибытия.

• Анализ реакции системы.

С точки зрения непрофессионала, преобразование Гильберта, когда оно используется на реальных данных, обеспечивает «истинную (мгновенную) амплитуду» (и некоторые другие) для стационарных явлений, превращая их в «конкретные» сложные данные. Например, косинус по своей природе имеет амплитуду 1, которую вы не видите непосредственно, поскольку он визуально колеблется между - 1 и 1 и периодически исчезает. Преобразование Гильберта дополняет косинус "наиболее последовательным образом", так что результирующая комплексная функция cos ( t ) + i sin ( t $\cos(t)$$-1$$1$$\cos(t)+i\sin(t)$ хранит всю исходную информацию, плюс ее «амплитуда» является непосредственно модулем 1. Все вышеперечисленное требует осторожности, так как в игру вступают понятия ограниченности полосы и локальности.

Преобразование Гильберта (и преобразование Рисса в более высоких измерениях) может быть более фундаментальным инструментом. Мне нравится пролог главы 2 « Исследования гармонического анализа с приложениями к теории сложных функций и группой Гейзенберга» Стивена Г. Кранца:

Пролог: преобразование Гильберта, без сомнения, самый важный оператор в анализе. Он возникает в очень многих различных контекстах, и все эти контексты переплетены глубокими и влиятельными способами. Все это сводится к тому, что в измерении 1 существует только один особый интеграл, и это преобразование Гильберта. Философия заключается в том, что все значимые аналитические вопросы сводятся к единственному интегралу; и в первом измерении есть только один выбор.

Области применения в обработке сигналов / изображений многочисленны, возможно, из-за ее фундаментальных свойств: мгновенной оценки амплитуды / частоты, построения причинно-следственных фильтров только для амплитуды (соотношения Крамерса-Крёнига), двумерных направленных вейвлетов с малой избыточностью, обнаружение не зависящих от сдвига краев, и т.п.

Я бы также предложил два тома Ф. Кинга, 2009, « Преобразования Гильберта» .

Преобразование (FT или Гильберт и т. Д.) Не создает новую информацию из ничего. Таким образом, «информация, которую вы получаете», или дополнительное измерение в результирующем аналитическом комплексном сигнале, обеспечиваемом преобразованием Гильберта 1D / реального сигнала, является формой суммирования локальной среды каждой точки в этом сигнале, соединенной с этим точка.

Такая информация, как локальная фаза и амплитуда огибающей, на самом деле является информацией о некоторой ширине или протяженности (до бесконечной степени) сигнала, окружающего каждую локальную точку. Преобразование Гильберта при генерации одного компонента сложного аналитического сигнала из 1D реального сигнала сжимает некоторую информацию из окружающего экстента сигнала в каждую отдельную точку сигнала, позволяя тем самым принимать больше решений (например, немного демодулируя построение графика амплитуды огибающей и т. д.) в каждой локальной (теперь сложной) точке или выборке без необходимости повторного сканирования и / или обработки нового (вейвлет, оконный Гертцель и т. д.) окна некоторой ширины для сигнала в каждом точка.

Аналитический сигнал, создаваемый преобразованием Гильберта, полезен во многих приложениях для анализа сигналов. Если вы сначала пропустите полосовой фильтр сигнала, представление аналитического сигнала даст вам информацию о локальной структуре сигнала:

• $\pi$$\pm \pi/2$
• амплитуда указывает на прочность структуры в точке, независимой от симметрии (фазы).

Это представление было использовано для

• обнаружение признаков по локальной энергии (амплитуде)
• классификация объектов с использованием фазы
• обнаружение признаков через согласование фаз

Он также распространяется на более высокие измерения с использованием преобразования Рисса, например, моногенного сигнала.

Реализация преобразования Гильберта позволяет нам создавать аналитический сигнал на основе некоторого исходного действительного сигнала. А в мире связи мы можем использовать аналитический сигнал, чтобы легко и точно вычислить мгновенную величину исходного реального значения сигнала. Этот процесс используется в демодуляции AM. Также из аналитического сигнала мы можем легко и точно вычислить мгновенную фазу исходного действительного сигнала. Этот процесс используется как в фазовой, так и в FM-демодуляции. Ваш профессор правильно освещает преобразование Гильберта, потому что оно чертовски полезно в системах связи.

Хорошие ответы уже есть, но я хотел бы добавить, что преобразование сигнала в его аналитическую версию легко в цифровой области (требуемый полуполосный фильтр имеет половину его коэффициентов, равных нулю), но как только там, частота дискретизации может быть сокращена в наполовину, по существу, разделяя обработку на реальные и воображаемые пути. Очевидно, что здесь есть стоимость, и некоторые перекрестные термины должны быть обработаны, но в целом это полезно в аппаратных реализациях, когда тактовая частота является фактором.

Как уже объяснялось в других ответах, преобразование Гильберта используется для получения аналитического сигнала, который можно использовать для определения огибающей и фазы сигнала.

Другой способ смотреть на преобразование Гильберта в частотной области. Поскольку реальный сигнал имеет одинаковые положительные и отрицательные частотные составляющие, поэтому при анализе эта информация является избыточной.

Преобразование Гильберта используется, чтобы устранить отрицательную частотную часть и удвоить величину положительной частотной части (чтобы сохранить мощность неизменной).

Здесь, разработанный фильтр преобразования Гильберта является полосовым по своей природе, который пропускает частоты от 50 МГц до 450 МГц. Вход представляет собой сумму двух синусоидальных сигналов, имеющих частоты, равные 200 МГц и 500 МГц.

Из графика PSD мы можем видеть, что отрицательная частотная составляющая сигнала 200 МГц ослабляется, в то время как сигнал 500 МГц проходит как таковой.

На этот вопрос уже есть много отличных ответов, но я хотел бы включить этот очень простой пример и объяснение с этой страницы, которые в значительной степени прояснили концепцию и полезность преобразования Гильберта:

$z(t)$

$$\displaystyle z(t) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{\infty}Z(\omega)e^{j\omega t}d\omega$$ где $Z(\omega)$ комплексный коэффициент (установка амплитуды и фазы) синусоиды с положительной частотой $\exp(j\omega t)$ на частоте $\omega$, Любая настоящая синусоида$A\cos(\omega t + \phi)$ может быть преобразован в положительно-частотный комплекс синусоиды $A\exp[j(\omega t + \phi)]$ просто генерируя фазово-квадратурный компонент $A\sin(\omega t + \phi)$ служить «воображаемой частью»:

$$\displaystyle A e^{j(\omega t + \phi)} = A\cos(\omega t + \phi) + j A\sin(\omega t + \phi)$$ Фазово-квадратурная составляющая может быть сгенерирована из синфазной составляющей простым сдвигом времени четверть цикла. Для более сложных сигналов, которые выражаются в виде суммы многих синусоид, может быть создан фильтр, который сдвигает каждый синусоидальный компонент на четверть цикла. Это называется фильтром преобразования Гильберта. Позволять${\cal H}_t\{x\}$ обозначить выход во времени $t$ фильтра Гильберта-преобразования, примененного к сигналу $x$, В идеале этот фильтр имеет величину$1$ на всех частотах и ​​вводит фазовый сдвиг $-\pi/2$ на каждой положительной частоте и $+\pi/2$на каждой отрицательной частоте. Когда настоящий сигнал$x(t)$ и его преобразование Гильберта $y(t) = {\cal H}_t\{x\}$ используются для формирования нового сложного сигнала $z(t) = x(t) + j y(t)$ , сигнал $z(t)$ (сложный) аналитический сигнал, соответствующий реальному сигналу $x(t)$, Другими словами, для любого реального сигнала$x(t)$ соответствующий аналитический сигнал $z(t)=x(t) + j {\cal H}_t\{x\}$ обладает тем свойством, что все «отрицательные частоты» $x(t)$ были "отфильтрованы".

(Отказ от ответственности: я не автор страницы)