Значение преобразования Гильберта

39

Я понимаю преобразование Фурье, которое является математической операцией, которая позволяет вам видеть частотный состав данного сигнала. Но сейчас в моем комм. Конечно, профессор представил преобразование Гильберта.

Я понимаю, что это в некоторой степени связано с частотным контентом, учитывая тот факт, что преобразование Гильберта умножает БПФ на знак jsign(W(f)) или сворачивает временную функцию с 1/πt .

В чем смысл преобразования Гильберта? Какую информацию мы получаем, применяя это преобразование к данному сигналу?

MathieuL
источник

Ответы:

32

Одним из применений преобразования Гильберта является получение так называемого аналитического сигнала. Для получения сигнала s(t) , его преобразование Гильберта S ( т ) определяется как композиция:s^(t)

sA(t)=s(t)+js^(t)

Получаемый нами аналитический сигнал имеет комплексное значение, поэтому мы можем выразить его в экспоненциальной записи:

sA(t)=A(t)ejψ(t)

где:

A(t) - мгновенная амплитуда (огибающая)

ψ(t) - мгновенная фаза.


Так как они полезны?

Мгновенная амплитуда может быть полезна во многих случаях (она широко используется для нахождения огибающей простых гармонических сигналов). Вот пример для импульсного отклика:

введите описание изображения здесь

Во-вторых, исходя из фазы, мы можем рассчитать мгновенную частоту:

f(t)=12πdψdt(t)

Что опять-таки полезно во многих приложениях, таких как определение частоты стремительного тона, вращение двигателей и т. Д.


Другие примеры использования включают в себя:

  • Выборка узкополосных сигналов в телекоммуникациях (в основном с использованием фильтров Гильберта).

  • Медицинская визуализация.

  • Обработка массива для направления прибытия.

  • Анализ реакции системы.

Jojek
источник
Хороший ответ. Однако я несколько не согласен с вашим утверждением «[преобразование Гильберта] широко используется для нахождения огибающей сложных гармонических сигналов». Это именно «сложные» (как в: не простые) сигналы, которые на самом деле не подходят для мгновенного анализа амплитуды. Оболочка Гильберта имеет практическое применение в основном для так называемых однокомпонентных сигналов, то есть синусоид с относительно медленной амплитудной и частотной модуляцией.
Jazzmaniac
@Jazzmaniac: Wooow ... Я думал о написании "простой", но написал "сложный". Спасибо, что обратили на это мое внимание! Эти сложные / аналитические слова перепутались с моим мозгом.
jojek
8

С точки зрения непрофессионала, преобразование Гильберта, когда оно используется на реальных данных, обеспечивает «истинную (мгновенную) амплитуду» (и некоторые другие) для стационарных явлений, превращая их в «конкретные» сложные данные. Например, косинус по своей природе имеет амплитуду 1, которую вы не видите непосредственно, поскольку он визуально колеблется между - 1 и 1 и периодически исчезает. Преобразование Гильберта дополняет косинус "наиболее последовательным образом", так что результирующая комплексная функция cos ( t ) + i sin ( t )cos(t)11cos(t)+isin(t) хранит всю исходную информацию, плюс ее «амплитуда» является непосредственно модулем 1. Все вышеперечисленное требует осторожности, так как в игру вступают понятия ограниченности полосы и локальности.

Преобразование Гильберта (и преобразование Рисса в более высоких измерениях) может быть более фундаментальным инструментом. Мне нравится пролог главы 2 « Исследования гармонического анализа с приложениями к теории сложных функций и группой Гейзенберга» Стивена Г. Кранца:

Пролог: преобразование Гильберта, без сомнения, самый важный оператор в анализе. Он возникает в очень многих различных контекстах, и все эти контексты переплетены глубокими и влиятельными способами. Все это сводится к тому, что в измерении 1 существует только один особый интеграл, и это преобразование Гильберта. Философия заключается в том, что все значимые аналитические вопросы сводятся к единственному интегралу; и в первом измерении есть только один выбор.

Области применения в обработке сигналов / изображений многочисленны, возможно, из-за ее фундаментальных свойств: мгновенной оценки амплитуды / частоты, построения причинно-следственных фильтров только для амплитуды (соотношения Крамерса-Крёнига), двумерных направленных вейвлетов с малой избыточностью, обнаружение не зависящих от сдвига краев, и т.п.

Я бы также предложил два тома Ф. Кинга, 2009, « Преобразования Гильберта» .

Лоран Дюваль
источник
7

Преобразование (FT или Гильберт и т. Д.) Не создает новую информацию из ничего. Таким образом, «информация, которую вы получаете», или дополнительное измерение в результирующем аналитическом комплексном сигнале, обеспечиваемом преобразованием Гильберта 1D / реального сигнала, является формой суммирования локальной среды каждой точки в этом сигнале, соединенной с этим точка.

Такая информация, как локальная фаза и амплитуда огибающей, на самом деле является информацией о некоторой ширине или протяженности (до бесконечной степени) сигнала, окружающего каждую локальную точку. Преобразование Гильберта при генерации одного компонента сложного аналитического сигнала из 1D реального сигнала сжимает некоторую информацию из окружающего экстента сигнала в каждую отдельную точку сигнала, позволяя тем самым принимать больше решений (например, немного демодулируя построение графика амплитуды огибающей и т. д.) в каждой локальной (теперь сложной) точке или выборке без необходимости повторного сканирования и / или обработки нового (вейвлет, оконный Гертцель и т. д.) окна некоторой ширины для сигнала в каждом точка.

hotpaw2
источник
2
Спасибо за этот ответ. Я был немного озадачен необходимостью преобразования Гильберта, поскольку уже можно извлечь амплитуду и инст. частота. для точки в исходном сигнале (Мое понимание: возьмите значение абс., ​​чтобы получить амплитуду, и используйте разницу во времени в окне вокруг точки, чтобы получить инст. частоту). Но то, что вы говорите о суммировании этой информации в одну точку, имеет смысл, поэтому я предполагаю, что преобразование Гильберта в основном используется для удобства.
Aralox
-+
1
Интеграл сильно взвешен по направлению к его центру. При обычном использовании реализация FFT или FIR обрезает хвосты домена, где, как мы надеемся, они находятся ниже некоторого минимального уровня шума.
hotpaw2
6

Аналитический сигнал, создаваемый преобразованием Гильберта, полезен во многих приложениях для анализа сигналов. Если вы сначала пропустите полосовой фильтр сигнала, представление аналитического сигнала даст вам информацию о локальной структуре сигнала:

  • π±π/2
  • амплитуда указывает на прочность структуры в точке, независимой от симметрии (фазы).

Это представление было использовано для

  • обнаружение признаков по локальной энергии (амплитуде)
  • классификация объектов с использованием фазы
  • обнаружение признаков через согласование фаз

Он также распространяется на более высокие измерения с использованием преобразования Рисса, например, моногенного сигнала.

geometrikal
источник
5

Реализация преобразования Гильберта позволяет нам создавать аналитический сигнал на основе некоторого исходного действительного сигнала. А в мире связи мы можем использовать аналитический сигнал, чтобы легко и точно вычислить мгновенную величину исходного реального значения сигнала. Этот процесс используется в демодуляции AM. Также из аналитического сигнала мы можем легко и точно вычислить мгновенную фазу исходного действительного сигнала. Этот процесс используется как в фазовой, так и в FM-демодуляции. Ваш профессор правильно освещает преобразование Гильберта, потому что оно чертовски полезно в системах связи.

Ричард Лайонс
источник
3

Хорошие ответы уже есть, но я хотел бы добавить, что преобразование сигнала в его аналитическую версию легко в цифровой области (требуемый полуполосный фильтр имеет половину его коэффициентов, равных нулю), но как только там, частота дискретизации может быть сокращена в наполовину, по существу, разделяя обработку на реальные и воображаемые пути. Очевидно, что здесь есть стоимость, и некоторые перекрестные термины должны быть обработаны, но в целом это полезно в аппаратных реализациях, когда тактовая частота является фактором.

PhilShea
источник
2

Как уже объяснялось в других ответах, преобразование Гильберта используется для получения аналитического сигнала, который можно использовать для определения огибающей и фазы сигнала.

Другой способ смотреть на преобразование Гильберта в частотной области. Поскольку реальный сигнал имеет одинаковые положительные и отрицательные частотные составляющие, поэтому при анализе эта информация является избыточной.

Преобразование Гильберта используется, чтобы устранить отрицательную частотную часть и удвоить величину положительной частотной части (чтобы сохранить мощность неизменной).

Здесь, разработанный фильтр преобразования Гильберта является полосовым по своей природе, который пропускает частоты от 50 МГц до 450 МГц. Вход представляет собой сумму двух синусоидальных сигналов, имеющих частоты, равные 200 МГц и 500 МГц.

Из графика PSD мы можем видеть, что отрицательная частотная составляющая сигнала 200 МГц ослабляется, в то время как сигнал 500 МГц проходит как таковой. введите описание изображения здесь

pulkit
источник
что вы подразумеваете под реальным сигналом, имеющим идентичные положительные и отрицательные частотные составляющие, поэтому при анализе эта информация избыточна ? Это потому, что существует цикл, информация о полном цикле не является ценной? Какую часть отрицательной частоты необходимо удалить?
Васс
1
частотный отклик реальных сигналов - это зеркальное отображение по оси y или реальная часть частотного отклика, является четной функцией частоты, более подробную информацию можно найти на странице 8, web.mit.edu/6.02/www/s2012/handouts/12. pdf
pulkit
2

На этот вопрос уже есть много отличных ответов, но я хотел бы включить этот очень простой пример и объяснение с этой страницы, которые в значительной степени прояснили концепцию и полезность преобразования Гильберта:

Z(T)

Z(T)знак равно12π0Z(ω)еJωTdω
где Z(ω) комплексный коэффициент (установка амплитуды и фазы) синусоиды с положительной частотой ехр(JωT) на частоте ω, Любая настоящая синусоидаAсоз(ωT+φ) может быть преобразован в положительно-частотный комплекс синусоиды Aехр[J(ωT+φ)] просто генерируя фазово-квадратурный компонент Aгрех(ωT+φ) служить «воображаемой частью»:

AеJ(ωT+φ)знак равноAсоз(ωT+φ)+JAгрех(ωT+φ)
Фазово-квадратурная составляющая может быть сгенерирована из синфазной составляющей простым сдвигом времени четверть цикла. Для более сложных сигналов, которые выражаются в виде суммы многих синусоид, может быть создан фильтр, который сдвигает каждый синусоидальный компонент на четверть цикла. Это называется фильтром преобразования Гильберта. ПозволятьЧАСT{Икс} обозначить выход во времени T фильтра Гильберта-преобразования, примененного к сигналу Икс, В идеале этот фильтр имеет величину1 на всех частотах и ​​вводит фазовый сдвиг -π/2 на каждой положительной частоте и +π/2на каждой отрицательной частоте. Когда настоящий сигналИкс(T) и его преобразование Гильберта Y(T)знак равноЧАСT{Икс} используются для формирования нового сложного сигнала Z(T)знак равноИкс(T)+JY(T) , сигнал Z(T) (сложный) аналитический сигнал, соответствующий реальному сигналу Икс(T), Другими словами, для любого реального сигналаИкс(T) соответствующий аналитический сигнал Z(T)знак равноИкс(T)+JЧАСT{Икс} обладает тем свойством, что все «отрицательные частоты» Икс(T) были "отфильтрованы".

(Отказ от ответственности: я не автор страницы)

ДКВ
источник
Я не понимаю complicated signals which are expressible as a sum of many sinusoids, a filter can be constructed which shifts each sinusoidal component by a quarter cycle, почему это должно быть выполнено? Какова мотивация и практическая ценность?
Васс