Почему так много методов вычисления PSD?

Метод Уэлча был моим основным алгоритмом для вычисления спектральной плотности мощности (PSD) временных рядов с равномерной выборкой. Я заметил, что есть много других методов для вычисления PSD. Например, в Matlab я вижу:

• PSD с использованием метода Бург
• PSD с использованием метода ковариации
• PSD с использованием периодограммы
• PSD с использованием модифицированного метода ковариации
• PSD с использованием многоточечного метода (MTM)
• PSD по методу Уэлча
• PSD с использованием метода Yule-Walker AR
• Спектрограмма с использованием кратковременного преобразования Фурье
• Спектральная оценка

Каковы преимущества этих различных методов? В качестве практического вопроса, когда я хотел бы использовать что-то, кроме метода Уэлча?

Я не знаком с методом Multitaper. Тем не менее, вы задали довольно вопрос. Для получения степени MSEE я прошел полный курс, который охватывал оценку PSD. Курс охватил все, что вы перечислили (за исключением метода Multitaper), а также методы подпространства. Даже это охватывает только некоторые основные идеи, и есть много методов, вытекающих из этих концепций.

Для начала, есть два основных метода оценки спектральной плотности мощности: непараметрический и параметрический.

Непараметрические методы используются, когда мало известно о сигнале раньше времени. Они обычно имеют меньшую вычислительную сложность, чем параметрические модели. Методы в этой группе делятся на две категории: периодограммы и коррелограммы. Периодограммы также иногда называют прямыми методами, поскольку они приводят к прямому преобразованию данных. К ним относятся выборочный спектр, метод Бартлетта, метод Уэлча и периодограмма Даниэля. Коррелограммы иногда называют косвенными методами, поскольку они используют теорему Винера-Хинчина. Поэтому эти методы основаны на использовании преобразования Фурье некоторой оценки автокорреляционной последовательности. Из-за большой дисперсии, связанной с лагами более высокого порядка (из-за небольшого количества выборок данных, используемых в корреляциях), Окно используется. Метод Блэкмана-Тьюки обобщает методы коррелограмм.

Параметрические методы обычно предполагают своего рода модель сигнала до вычисления оценки спектральной плотности мощности. Следовательно, предполагается, что некоторые знания о сигнале известны заранее. Существуют две основные категории параметрических методов: авторегрессионные методы и подпространственные методы.

Авторегрессионные методы предполагают, что сигнал может быть смоделирован как выходной сигнал авторегрессионного фильтра (такого как БИХ-фильтр), управляемый последовательностью белого шума. Поэтому все эти методы пытаются найти коэффициенты БИХ, в результате чего результирующая спектральная плотность мощности легко рассчитывается. Порядок модели (или количество отводов), однако, должен быть определен. Если порядок модели слишком мал, спектр будет сильно сглаженным, а разрешение будет недостаточным. Если порядок модели слишком высок, начинают появляться ложные пики от большого количества полюсов. Если сигнал может быть смоделирован AR-процессом модели 'p', то выходной сигнал фильтра порядка> = p, управляемый сигналом, будет производить белый шум. Существуют сотни метрик для выбора модели заказа. Обратите внимание, что эти методы превосходны для узкополосных сигналов с высоким и средним SNR. Первая причина заключается в том, что модель разбивается на значительный шум и лучше моделируется как процесс ARMA. Последнее связано с импульсным характером результирующего спектра от полюсов в преобразовании Фурье полученной модели. Методы AR основаны на линейном предсказании, которое используется для экстраполяции сигнала за пределы его известных значений. В результате они не страдают от боковых лепестков и не требуют окон.

Методы подпространства разделяют сигнал на подпространство сигнала и шумовое подпространство. Использование ортогональности между двумя подпространствами позволяет сформировать псевдоспектр, в котором могут появиться большие пики в узкополосных компонентах. Эти методы очень хорошо работают в средах с низким SNR, но вычислительно очень дороги. Их можно сгруппировать в две категории: методы подпространства шума и методы подпространства сигнала.

Обе категории могут использоваться одним из двух способов: разложение по собственным значениям матрицы автокорреляции или разложение по сингулярным значениям матрицы данных.

Методы шумового подпространства пытаются найти один или несколько собственных векторов шумового подпространства. Затем ортогональность между шумовым подпространством и сигнальным подпространством создает нули в знаменателе результирующих оценок спектра, что приводит к большим значениям или скачкам при истинных компонентах сигнала. Число дискретных синусоид, или ранг сигнального подпространства, должно быть определено / оценено или известно заранее.

Методы подпространства сигналов пытаются отбросить шумовое подпространство до спектральной оценки, улучшая ОСШ. Матрица автокорреляции пониженного ранга формируется только с собственными векторами, определенными как принадлежащие сигнальному подпространству (опять же, проблема порядка модели), и матрица пониженного ранга используется в любом из других методов.

Теперь я постараюсь быстро охватить ваш список:

• PSD с использованием метода БургМетод Бург использует рекурсию Левинсона несколько иначе, чем метод Юла-Уокера, так как он оценивает коэффициенты отражения путем минимизации среднего значения ошибки прямого и обратного линейного предсказания. Это приводит к гармоническому среднему значению коэффициентов частичной корреляции прямой и обратной погрешности линейного предсказания. Он выдает оценки с очень высоким разрешением, как и все методы авторегрессии, потому что он использует линейное прогнозирование для экстраполяции сигнала за пределы его известной записи данных. Это эффективно удаляет все явления боковых лепестков. Он превосходит метод YW для коротких записей данных, а также устраняет компромисс между использованием смещенных и несмещенных оценок автокорреляции, поскольку весовые коэффициенты делятся. Одним из недостатков является то, что он может демонстрировать расщепление спектральных линий. К тому же, он страдает от тех же проблем, что и все методы AR. То есть SNR от низкого до умеренного серьезно ухудшает производительность, так как оно больше не должным образом моделируется процессом AR, а скорее процессом ARMA. Методы ARMA используются редко, так как они обычно приводят к нелинейной системе уравнений относительно параметров скользящего среднего.

• PSD с использованием метода ковариации : метод ковариации является частным случаем метода наименьших квадратов, при котором оконная часть ошибок линейного предсказания отбрасывается. Это имеет превосходные характеристики по сравнению с методом Бурга, но в отличие от метода YW, обратная матрица, для которой нужно решить, является не эрмитовым теплицем в целом, а скорее произведением двух матриц Теплица. Следовательно, рекурсия Левинсона не может быть использована для определения коэффициентов. Кроме того, фильтр, сгенерированный этим методом, не гарантированно будет стабильным. Однако для спектральной оценки это хорошо, что приводит к очень большим пикам синусоидального содержимого.

• PSD с использованием периодограммы : это одна из худших оценок, которая является частным случаем метода Уэлча с одним сегментом, прямоугольным или треугольным окном (в зависимости от того, какая оценка автокорреляции используется, смещенная или несмещенная) и без перекрытия. Тем не менее, это один из самых «дешевых» в вычислительном отношении. Результирующая дисперсия может быть довольно высокой.

• PSD с использованием модифицированного метода ковариации : это улучшает как метод ковариации, так и метод Бург. Его можно сравнить с методом Бург, в котором метод Бург минимизирует только среднюю погрешность прямого / обратного линейного прогнозирования по отношению к коэффициенту отражения, а метод МС минимизирует ее по отношению ко ВСЕМ коэффициентам AR. Кроме того, он не страдает от расщепления спектральных линий и обеспечивает гораздо меньше искажений, чем ранее перечисленные методы. Кроме того, хотя он не гарантирует стабильного БИХ-фильтра, его реализация решетчатого фильтра является стабильной. Это требует больших вычислительных ресурсов, чем другие два метода.

• PSD с использованием метода Уэлча: метод Уэлча улучшает периодограмму, решая проблему отсутствия усреднения по ансамблю, которое присутствует в истинной формуле PSD. Он обобщает метод Барлетта, используя перекрытие и управление окнами, чтобы обеспечить больше «сэмплов» PSD для среднего псевдо-ансамбля. Это может быть дешевый, эффективный метод в зависимости от применения. Однако, если у вас есть ситуация с близко расположенными синусоидами, методы AR могут быть более подходящими. Однако это не требует оценки порядка модели, как методы AR, поэтому, если априори мало известно о вашем спектре, это может быть отличной отправной точкой.

• PSD с использованием метода Yule-Walker AR : это особый случай метода наименьших квадратов, в котором используются полные остатки ошибок. Это приводит к снижению производительности по сравнению с ковариационными методами, но может быть эффективно решено с помощью рекурсии Левинсона. Он также известен как метод автокорреляции.

• Спектрограмма с использованием кратковременного преобразования Фурье : теперь вы переходите в другую область. Это используется для изменяющихся во времени спектров. То есть тот, чей спектр меняется со временем. Это открывает совершенно другую банку червей, и существует столько же методов, сколько вы перечислили для частотно-временного анализа. Это, безусловно, самый дешевый, поэтому его так часто используют.

• Спектральная оценка : это не метод, а общий термин для остальной части вашего поста. Иногда периодограмму называют «образцом спектра» или «периодограммой Шустера», первой из которых может быть то, что вы имеете в виду.

Если вам интересно, вы также можете изучить такие подпространственные методы, как MUSIC и Гармоническое разложение Писаренко. Они разлагают сигнал на подпространство сигнала и шума и используют ортогональность между подпространством шума и собственными векторами подпространства сигнала для создания псевдоспектра. Подобно методам AR, вы можете не получить «истинную» оценку PSD, так как мощность, скорее всего, не сохраняется, а амплитуды между спектральными компонентами являются относительными. Однако все зависит от вашего приложения.

ура

Я хотел добавить в единственную категорию, которую не охватывал первое сообщение. Многоступенчатый метод является непараметрическим методом для вычисления спектра мощности, подобным подходу периодограммы. В этом методе спектр мощности вычисляется путем формирования окна данных и вычисления преобразования Фурье, принимая величину результата и возводя его в квадрат. В многоточечном методе усредняется заранее определенное количество периодограмм, каждая из которых рассчитывается в отдельном окне. Этот метод работает, потому что выбранные окна имеют два математических свойства. Во-первых, окна ортогональны. Это означает, что каждая из периодограмм некоррелирована, поэтому усреднение нескольких периодограмм дает оценку с меньшей дисперсией, чем при использовании только одной конусности. Во-вторых, окна имеют наилучшую возможную концентрацию в частотной области для фиксированной длины сигнала.

В matlab оконные функции можно вызывать с помощью функции dpss. В дополнение к использованию оптимальных окон был получен алгоритм для взвешивания различных периодограмм на основе того, сколько утечек они добавят к оценке спектра мощности. Алгоритм дает набор адаптивных данных весов. Получение оценки спектра с помощью набора весов, адаптируемых к данным, можно выполнить в Matlab, создав объект spectrum.mtm с параметром «adaptive», используемым в качестве опции объединения.

Что касается непараметрических методов, то метод MT, возможно, является лучшим методом для оценки спектра мощности для стационарных временных рядов.