Почему преобразование Фурье гребня Дирака является гребнем Дирака?

16

Это не имеет смысла для меня, потому что неравенство Гейзенберга гласит , что $\Delta t\Delta \omega$ ~ 1.

Поэтому, когда у вас есть что-то идеально локализованное во времени, вы получаете что-то полностью распределенное по частоте. Следовательно, основное соотношение $\mathfrak{F}\{\delta(t)\} = 1$ где $\mathfrak{F}$ - оператор преобразования Фурье .

Но для гребня Дирака , применяя преобразование Фурье, вы получаете еще один гребень Дирака. Интуитивно, вы также должны получить другую строку.

Почему эта интуиция терпит неудачу?

fourier-transform Карлос - Мангуст - Опасность
источник

13

Я считаю, что заблуждение заключается в том, чтобы верить, что гребень Дирака локализован во времени. Это не потому, что это периодическая функция, и как таковая она может иметь частотные составляющие только в кратных основной частоте, то есть в дискретных частотных точках. Он не может иметь непрерывного спектра, иначе он не будет периодическим во времени. Как и любая другая периодическая функция, гребенка Дирака может быть представлена рядом Фурье, то есть как бесконечная сумма комплексных экспонент. Каждая комплексная экспонента соответствует импульсу Дирака в частотной области на различной частоте. Суммирование этих импульсов Дирака дает гребень Дирака в частотной области.

Мэтт Л.
источник

Да, ни одна периодическая гребенка не локализована в соответствующей независимой переменной (время / частота).

Питер К.

11

Ваша интуиция не работает, потому что вы начинаете с неправильных предположений. Неопределенность Гейзенберга не говорит того, что вы думаете, что говорит. Как вы уже сказали в своем вопросе, это неравенство . Чтобы быть точным, это

Δ t \cdot Δ f \geq \frac{1}{4 π}

$\Delta t \cdot \Delta f \geq\frac{1}{4\pi}$

Нет причины, по которой произведение неопределенности должно быть близко к его нижней границе для всех сигналов. Фактически, единственными сигналами, которые достигают этой нижней границы, являются атомы Габора. Для всех других сигналов ожидайте, что он будет больше и, возможно, даже бесконечным.

Jazzmaniac
источник

1

Правильно, но главная ошибка - думать, что гребень Дирака локализован во времени. Это не потому, что это периодическое. Таким образом, теорема неопределенности не говорит ничего полезного о гребне Дирака.

Мэтт Л.

@ MattL., Я не так понимаю первоначальный вопрос. Я думаю, что он на самом деле утверждает, что поезд Дирака полностью делокализован в своей родной области и, следовательно, должен преобразовать Фурье в нечто очень локализованное.

Jazzmaniac

1

Хорошо, похоже, есть недопонимание того, что ОП означает «другая линия». Я думал, что это относится к плоскому спектру (так же, как спектр импульса Дирака, о котором он говорил ранее). Но вы думали, что это относится к спектральной линии, то есть к одной частоте. По крайней мере, теперь я понимаю, как ваш ответ мог ответить на вопрос ОП.

Мэтт Л.

1

@MattL., Я действительно думал, что он имеет в виду обычное графическое представление распределений Дирака, когда он пишет «линию». В любом случае ему придется уточнить, так как вопрос действительно может быть прочитан как минимум двумя разными способами.

Jazzmaniac

1

хорошо, «стандартное» определение - это физическое утверждение, связывающее неопределенности импульса и положения (в частности, стандартные отклонения), и в нем есть

. и даже в этом случае вы должны определить, что подразумевается под «

» и «

». та константа (которую вы указываете как

ℏ

$\hbar$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

) не может быть слишком далеко от единицы (в логарифмическом масштабе), но это не обязательно должно быть

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

, за исключениемсвязи с определением конкретного для «

» и «

».

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

Роберт Бристоу-Джонсон

6

инженеры-электрики играют немного быстро и свободно с дельта-функцией Дирака, которая, как утверждают математики, не является функцией (или, по крайней мере, не является «обычной» функцией, а является «распределением»). математический факт состоит в том, что если $f(t)=g(t)$ «почти везде» (что означает при каждом значении $t$ кроме счетного числа дискретных значений), то

\int f (t) d t = \int g (t) d t

$\int f(t)dt = \int g(t)dt$ .

ну, функции $f(t)=0$ и $g(t)=\delta(t)$ везде одинаковы, кроме как при $t=0$ , но мы, инженеры-электрики, настаиваем на том, что их интегралы различны. но если вы отложите эту небольшую (и, на мой взгляд, непрактичную) разницу, ответ на ваш вопрос:

гребенчатая функция Дирака
${I I I}_{T} (t) ≜ \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} δ (t - k T)$ $\mathrm{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t - kT)$ является периодической функцией периода $T$ и поэтому имеет ряд Фурье: ${I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_{n} e^{j 2 π n t / T}$ $\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{j 2 \pi n t/T}$
если вы взрывы из коэффициентов, $c_n$ , из ряда Фурье вы получите:

\begin{aligned} c_{n} & = \frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} {I I I}_{T} (t) e^{- j 2 π n t / T} d t \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n t / T} d t (k = 0) \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n 0 / T} d t \\ = \frac{1}{T} \forall n \end{aligned}

$\begin{align} c_n & = \frac{1}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T} \mathrm{III}_T(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \quad \quad (k=0)\\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n 0/T} dt \\ & = \frac{1}{T} \quad \quad \forall n \\ \end{align}$

поэтому ряд Фурье для гребня Дирака

{I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} e^{j 2 π n t / T}

$\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \ e^{j 2 \pi n t/T}$

Это означает, что вы просто суммируете группу синусоид одинаковой амплитуды.

Преобразование Фурье одной комплексной синусоиды имеет вид:

F {e^{j 2 π f_{0} t}} = δ (f - f_{0})

$\mathfrak{F} \left\{ e^{j 2 \pi f_0 t} \right\} = \delta(f-f_0)$

and there is this property of linearity regarding the Fourier Transform. the rest of the proof is an exercise left to the reader.

robert bristow-johnson
источник

1

@Jazzmaniac, that's a falsehood. when have i ever been condescending toward mathematicians? (me thinks you're projecting a bit.) BTW, it's been 38 years since i have had 2 semesters of functional analysis at the graduate level. don't remember everything, but i sure do remember what a metric space is, a normed metric space (i think they were sometimes called "Banach spaces"), and inner product spaces (sometimes called "Hilbert spaces"), and what a functional is (maps from one of these to a number). and i know what linear spaces are. about

δ (t)

$\delta(t)$ , i don't mind them being naked.

robert bristow-johnson

You go on with a wrong argument that suggests mathematicians don't get 1 when they integrate over a Dirac distribution. Well, you can't demonstrate any better that you haven't understood the Dirac distribution, even if you have taken a class on functional analysis. It doesn't need electrical engineers like you to "fix" mathematics. And I will keep pointing that out to you until you stop talking about mathematicians like that. It's entirely your choice.

Jazzmaniac

that's a falsehood, too, @Jazzmaniac. i am saying that, consistent with what mathematicians tell us, the Dirac delta function is not really a function (even though we electrical engineers don't worry about that distinction and deal with it as if it were a function) because if it were a function that was zero almost everywhere, the integral would be zero. why do you keep misrepresenting me? what is the ax you're grinding?

robert bristow-johnson

@ robertbristow-johnson "Инженеры-электрики играют быстро и свободно с дельта-функцией Дирака." Пол Дирак был инженером-электриком. Клод Шеннон был также инженером-электриком. Я предостерегаю вас от таких общих и неточных заявлений. Вы утверждаете, что являетесь инженером-электриком и четко понимаете теорию распределения.

Марк Виола

почти в каждом учебнике по электротехнике для студентов бакалавриата по теории линейных систем или сигналам и системам или тому подобному названию дельта Дирака рассматривается и рассматривается как ограничивающий случай "возникающей дельты" . например:

δ (t) = lim_{a \to 0} \frac{1}{a \sqrt{π}} e^{- t^{2} / a^{2}}

$\delta(t) = \lim_{a \to 0}\frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-t^2/a^2}$ or some other unit area pulse function that you can make skinny. i would not be surprized that in published papers, folks like Shannon or Dirac (didn't know that) would stick with the conservative facts:

\int f (t) δ (t - τ) d t = f (τ)

$\int f(t) \delta(t-\tau) \ dt = f(\tau)$ and

δ (t) = 0 \forall t \neq 0

$\delta(t)=0 \quad \forall \ t \ne 0$ .

robert bristow-johnson

1

Я постараюсь дать интуицию. Вероятно, мы могли бы подумать так: «Одна дельта Дирака дает нам 1 в частотной области. Теперь я даю бесконечное количество дельт Дирака. Разве я не должен получить более высокий DC?» Теперь давайте посмотрим, получим ли мы все эти частотные компоненты, упомянутые в гребне Дирака в частотной области (FD), мы получим еще одну гребень Дирака во временной области (TD). Мы добавляем непрерывные сигналы и получаем дельты в дискретных точках. Звучит странно.

Возвращаясь к ФД. У нас есть гребень Дирака с расстоянием $\omega_0$ , Чтобы выразить это словами, у нас есть $0,\pm\omega_0,\pm2\omega_0,\pm3\omega_0$ и так далее. Таким образом, мы имеем DC и бесконечное число косинусов, а именно $\cos(\omega_0 t), \cos(2\omega_0 t), \cos(3\omega_0 t)$ и так далее.

Рассмотрим точки во временной области, соответствующие $t = \frac{2n\pi}{\omega_0}$ , Все вышеупомянутые косинус-волны дадут нам значение 1. Следовательно, все они складываются и дают нам ненулевое значение в этих точках. А как насчет других т? Нам нужно убедиться, что все они будут в сумме равны нулю.

Теперь немного отклоняемся, давайте рассмотрим форму волны $cos(kn) ; n = 0,1,2,3,4...\infty$ , Мы знаем, что если k не может быть выражено как дробь, умноженная на $\pi$ Апериодический. Что это обозначает? Там нет ни одного повторяющегося образца. Каждый из образцов уникален. Если взглянуть на это с другой точки зрения, мы имеем бесконечное количество образцов, которые являются уникальными и являются частью волны косинуса. Это означает, что, взяв все бесконечные точки, мы сможем построить одну НЕПРЕРЫВНУЮ косинусную волну полностью один раз. Что, если $cos(kn)$ является периодическим? Мы уже знаем, что сумма выборок будет периодически равна нулю в зависимости от значения k. Следовательно, сумма всех образцов $cos(kn)$ даст нам ноль для любого значения к, кроме $k = 2\pi$ кратно.

Возвращаясь к нашей первоначальной проблеме: теперь мы возьмем произвольную $t=t_0 \neq 2r\pi$ . Now we have $\cos(0\omega_0 t_0)[dc] + \cos(\omega_0 t_0) + \cos(2\omega _0 t_0) + \cos(3\omega_0 t_0)$ ....as the value at $t=t_0$ . But we have already proved this infinite sum =0 for any t except $t=\frac{2n\pi}{\omega _0}$ , where all these cosines add up to give dirac deltas.

Subramanian T R
источник

Почему преобразование Фурье гребня Дирака является гребнем Дирака?

Ответы: