Обычно можно обратиться к статье или книге, чтобы найти точки интеграции и веса для единичного треугольника и тетраэдра. Я ищу метод для автоматического вычисления таких точек и весов. В следующем примере кода Mathematica вычисляются веса и точки интеграции для элементов единичной линии (четырехугольник / шестигранник):
unitGaussianQuadraturePoints[points_] :=
Sort[x /.
Solve[Evaluate[LegendreP[points, x] == 0], {x}], !
OrderedQ[N[{#1, #2}]] &];
unitGaussianQuadratureWeights[points_] :=
Module[{gps, f, int, integr, vars, eqns},
gps = unitGaussianQuadraturePoints[points];
f[0, 0] := 1;
f[0., 0] := 1.;
f[x_, n_] := x^n;
int = Integrate[f[x, #], x] & /@ Range[0, points - 1];
integr = Subtract @@@ (int /. x :> {1, -1});
vars = Table[Unique[c], {Length[gps]}];
eqns =
Table[Plus @@ Thread[Times[vars, f[#, i - 1] & /@ gps]] ==
integr[[i]], {i, points}];
Return[(vars /. Solve[eqns, vars])];];
unitGaussianQuadratureWeights[2]
{{1, 1}}
unitGaussianQuadraturePoints[2]
{1/Sqrt[3], -(1/Sqrt[3])}
Я ищу статью / книгу, которая алгоритмически описывает, как это делается для треугольников и / или тетраэдров. Может кто-нибудь указать мне некоторую информацию об этом. Благодарю.
symbolic-computation
reference-request
Дэвид Кетчесон
источник
источник
{points, weights} = MapThread[Map, {{2 # - 1 &, 2 # &}, Most[NIntegrate`GaussRuleData[n, prec]]}].Transpose[MapAt[2(First /@ #)^2 &, Eigensystem[SparseArray[{Band[{2, 1}] -> #, Band[{1, 2}] -> #}, {n, n}]], {2}]] &[Table[k/Sqrt[(2 k - 1)(2 k + 1)], {k, n - 1}]].Ответы:
Энциклопедия кубатурных формул имеет обширный перечень методов для этой цели и связанных с ними ссылок.
источник
Вот документ http://journal.library.iisc.ernet.in/vol200405/paper6/rathod.pdf, в котором описывается, как сопоставить единичный треугольник со стандартным 2-квадратом, чтобы вычислить веса и точки выборки для треугольник в терминах точек Гаусса-Лежандра для стандартного 2-квадрата.
источник