Как следует обрабатывать непостоянные коэффициенты с помощью схемы против ветра первого порядка конечного объема?

Начиная с уравнения адвекции в форме сохранения.

$$u_t = (a(x)u)_x$$

где - скорость, зависящая от пространства, а u - концентрация вида, которая сохраняется.$a(x)$$u$

Дискретизация потока (где поток , определенный на краях ячеек между точками сетки) дает, u t = $f=a(x)u$

$$u_t = \frac{1}{h}\left( f_{j-{\frac{1}{2}}} - f_{j+{\frac{1}{2}}} \right)$$

Используя первый порядок против ветра, мы приближаем потоки как

который дает, ut=

$$f_{j-{\frac{1}{2}}} = a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-1} \\ f_{j+{\frac{1}{2}}} = a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j}$$ $$u_t = \frac{1}{h} \left( a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-1} - a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j} \right)$$

Если был постоянным, то это сведется к известной схеме против ветра, т.е. u t = $a(x)$.$u_t = \frac{a}{h} \left( u_{j-1} - u_{j} \right)$

Мой вопрос: как мы можем относиться к непостоянным коэффициентам уравнения переноса? Скорость определяется в клеточных центрах, поэтому простой подход будет следующим:

$$a(x_{j-\frac{1}{2}}) \rightarrow a(x_{j-1}) \\ a(x_{j+\frac{1}{2}}) \rightarrow a(x_{j})$$

Это мой предпочтительный подход, потому что он очень прост в реализации.

Однако мы могли бы также использовать (я предполагаю) схему усреднения для определения скорости на краях ячейки,

$$a(x_{j-\frac{1}{2}}) \rightarrow \frac{1}{2}a(x_{j-1} ) + \frac{1}{2}a(x_{j} ) \\ a(x_{j+\frac{1}{2}}) \rightarrow \frac{1}{2}a(x_{j} ) + \frac{1}{2}a(x_{j+1} ) \\ $$

В книге Левека он говорит:

$a(x)$$a_j$$a_{j−{\frac{1}{2}}}$

Но после этого он не особо уточняет. Какой общий подход?

Я решаю проблему сохранения (я использую уравнение адвекции в качестве уравнения неразрывности), поэтому я хочу убедиться, что после применения дискретизации свойство сохранения сохраняется. Я хотел бы избежать каких-либо скрытых сюрпризов в отношении этих переменных коэффициентов! У кого-нибудь есть общие замечания и рекомендации?

---

Обновление Ниже приведены два действительно хороших ответа, и я могу выбрать только один :(

$a$

Что наиболее важно (и вы уже затронули это в своем вопросе), так это то, что дискретизированная система все еще консервативна. При условии, что ваша схема может быть записана в виде

$\frac{\partial u_j}{\partial t} = F_{j-\frac{1}{2}}(u_{j-1},u_j) - F_{j+\frac{1}{2}}(u_j,u_{j+1})$

тогда оно должно быть консервативным, так как

$\frac{\partial}{\partial t}\int u dx = \sum_j\frac{\partial u_j}{\partial t}\delta x = \sum_j( F_{j-\frac{1}{2}}- F_{j+\frac{1}{2}} )\delta x = (F_{-\frac{1}{2}}-F_{N+\frac{1}{2}})\delta x$

Ваш простой подход должен работать нормально, как и усреднение скорости между ячейками, чтобы определить ее на интерфейсах ячеек, при условии, что скорость всегда положительна. Более того, я не думаю, что усреднение даст вам более высокую точность, поэтому вы правы, предпочитая простой способ.

Если вы также решаете для скорости и у вас есть система уравнений, вам, возможно, нужно быть более осторожным. Аналогично, если вы решаете нелинейный гиперболический PDE и используете ограничители потока, вам следует быть еще более осторожным.

* Однако для системы гиперболических PDE, использование разнесенных сеток может существенно улучшить искусственное рассеяние / диффузию. Если вы хотите узнать больше, посмотрите C-сетки Аракавы или ознакомьтесь с главой 4 этой книги .

$a(x)$

Под последовательным я подразумеваю, что единственное условие, которому должна удовлетворять интерполяция, это

$$a_{i+1/2}^+ = a_{i+1/2}^-$$

Другими словами, до тех пор, пока ваш метод интерполяции непрерывен за пределами ячейки, ваша дискретизация гарантированно останется консервативной.

Это может не показаться большой проблемой здесь в 1D (и не должно), но может вызвать проблемы на грубых интерфейсах на многоуровневых сетках AMR.

$a(x_{j-\frac{1}{2}})$

Чтобы понять, почему это так, рассмотрим, что аналитическое определение консервативного

$$\frac{\partial}{\partial t}\int_D u(x)\, dx = \int_{\partial D} a(x)u(x) dS,$$

$D$

Если наша дискретность имеет вид

$$u_t(x_j) = \frac{1}{h}\left(a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-\frac{1}{2}} - a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j+\frac{1}{2}}\right)$$

$x_1,\ldots, x_n$$D = [c,d]$$c = x_{\frac{1}{2}}$$d = x_{n+\frac{1}{2}}$

$$\frac{1}{h}\sum_{j=1}^n\left(a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-\frac{1}{2}} - a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j+\frac{1}{2}}\right) = a(x_{\frac{1}{2}})u_{\frac{1}{2}} - a(x_{n+\frac{1}{2}})u_{n+\frac{1}{2}},$$

$u_{j-\frac{1}{2}} = u_{j-1}$$u_{j+\frac{1}{2}} = u_j$$a(x)u$

$a(x)$$a(x_{j-r}), \ldots, a(x_{j+s})$$a(x_{j-\frac{1}{2}})$