Обычно в Multigrid нет проверки сходимости?

12

Я только что прочитал главу 3 в «Многосеточном учебнике» Бриггса / Хенсона / Маккормика, ссылка .

Текст о многосеточных циклах, таких как V-цикл, мю-цикл, FMG. Что привлекло мое внимание: в большинстве итерационных процедур проверяется, приблизился ли он к желаемому допуску / точности, и если да, процедура останавливается. Но Briggs / Henson / McCormick не используют проверку сходимости в представленных схемах. Количество итераций и рекурсий просто жестко запрограммировано, и нужно полагать, что схема будет сходиться.

Так как же это обычно делается в Multigrid? Обычно ли количество итераций / рекурсий просто задано? Я действительно боюсь, что либо потрачу много времени на вычисления, потому что я слишком точен, либо, с другой стороны, точность будет плохой во многих случаях, когда я выберу меньшее количество итераций / рекурсий.

multigrid Майкл
источник
Отсутствие ответов на этот вопрос действительно удивляет меня. Конечно, есть некоторые очень активные пользователи, которые имеют немного опыта работы с сетками в исследовательских и / или производственных средах?
Дуг Липински
2
Я думаю, что проблема заключается в том, что в настоящее время многосетка редко используется в качестве решателя сама по себе (я полагаю, из-за отсутствия общей теории сходимости), а скорее как предварительное условие для более устоявшегося итеративного метода, такого как CG или GMRES. В этом контексте проверка сходимости для многосетки не требуется, поскольку внешняя итерация позаботится об этом.
Кристиан Клэйсон

Ответы:

4

Да, по нескольким причинам нормально не проверять сходимость в MG. Во-первых, если вы используете различное количество итераций на каждом проходе, то оператор MG больше не является линейным, и вам придется использовать что-то вроде FGMRES в качестве ускорителя, который может работать с нелинейным предварительным условием. Во-вторых, FMG является точным решающим устройством (уменьшает ошибку ниже ошибки дискретизации), когда он работает, поэтому проверка сходимости вводит дорогостоящую синхронизацию в алгоритм. Как правило, вы проверяете в конце только для проверки сходимости.

Мэтт Кнепли
источник
У вас есть источники, подтверждающие это? В настоящее время ваш ответ и другой топ-голосующий ответ прямо противоречат друг другу.
Дуг Липински
1) Книга Саада - лучший справочник по использованию FGMRES для приспособления к изменяющемуся предварительному кондиционеру: www-users.cs.umn.edu/~saad/IterMethBook_2ndEd.pdf 2) Я считаю, что доказательство того, что FMG уменьшает ошибку ниже ошибки дискретизации, является достаточно мощным V-цикл находится в Троттенберге и Остерли, но я воспроизвожу доказательство в моей книге: cse.buffalo.edu/~knepley/classes/caam519/CSBook.pdf
Мэтт Кнепли,
4

Точно нет. Чтобы выбрать один пример, в книге « Многосетка » на стр. 53 представлен график (рис. 2.10), который показывает уменьшение невязки как функцию числа циклов V или W. Вы перестанете ездить на велосипеде, когда будете удовлетворены размером остатка.

Источником вашей путаницы может быть то, что некоторые описания описывают только один V-цикл. В некоторых ограниченных случаях, поскольку многосетка является такой мощной техникой, это может привести к подходящему решению. Также мультисетка может быть использована в качестве предварительного кондиционера . В этом случае мультисетка является просто ускорителем, и проверка на сходимость происходит на более высоком уровне. Но проверка всегда должна происходить где-то.

Дамасская сталь
источник
1
У вас есть источники, подтверждающие это? В настоящее время ваш ответ и другой топ-голосующий ответ прямо противоречат друг другу.
Дуг Липински
1

В Multigrid, используемом в качестве решателя , обычно относительная норма невязки используется в качестве критерия остановки. По мере уменьшения этого коэффициента - точность решения должна увеличиваться. Кроме того, на самом грубом уровне исследователи делают разные вещи:

  1. либо решить с помощью прямого решателя (без сходимости)
  2. использовать фиксированные итерации (без сходимости)
  3. использовать последовательную разницу между итерациями в качестве критерия сходимости (не очень хороший метод, потому что вы можете быть далеко от решения)
  4. Снова используйте относительную норму невязки в качестве критерия остановки.

Перечисленный выше метод 2 на самом грубом уровне хорош, когда Multigrid используется в качестве предварительного кондиционера (эксперты Multigrid здесь могут прокомментировать - я новичок).

Итак, в целом используется сходимость .

Гаурав Саксена
источник