Численное интегрирование высшего порядка на треугольнике / тетраэдре / симплексе

Пусть треугольник , и пусть гладкая функция на .$T$$f$$T$

Мы можем использовать среднюю точку квадратурной , где является средней точкой .$\int f dx \approx |T|\cdot f(x_M)$$x_M$$T$

Можете ли вы предоставить мне (ссылку на) формулы высшего порядка на симплексе?

Важно ли иметь максимально эффективные правила? Требуется ли, чтобы все веса были положительными и / или все точки находились внутри региона? Два общих ресурса:

• Энциклопедия кубатурных формул и ссылочных документов.
• Благодаря источнику Libmesh Джонатер Петерсон предлагает хороший выбор кубатурных правил для всех заказов, с отрицательными весами и без них. Пример src / quadrature / quadrature_gauss_3D.C

Если вы ищете некоторые реализации (в Фортране), то я могу порекомендовать эту страницу . Там вы можете найти несколько правил интеграции для разных геометрий, таких как треугольники, симплексы и т. Д. Конечно, вы также найдете там ссылки на оригинальные статьи.

Классическая бумага для треугольников - Dunavant, Symmetrical Gaussian Quadrature Rules, 1985. Где у вас есть правила вплоть до порядка 20. Реализацию можно найти здесь .