Как ощущается слабая конвергенция численно?

9

Представьте, что у вас есть проблема в бесконечномерном гильбертовом или банаховом пространстве (подумайте о PDE или задаче оптимизации в таком пространстве), и у вас есть алгоритм, который слабо сходится к решению. Если вы дискретизируете задачу и примените к ней соответствующий дискретизированный алгоритм, то слабая сходимость - это сходимость по каждой координате и, следовательно, также сильная. Мой вопрос:

Чувствует ли этот вид сильной конвергенции отличия от конвергенции, полученной в результате старой доброй простой сильной конвергенции исходного бесконечного алгоритма?

Или, более конкретно:

Какое плохое поведение может произойти с «дискретным методом слабой конвергенции»?

Я сам обычно не совсем счастлив, когда могу доказать только слабую конвергенцию, но до сих пор я не мог наблюдать некоторые проблемы с результатами методов, даже если я масштабировал проблему дискретизированных проблем до более высоких измерений.

Обратите внимание, что меня не интересует проблема «сначала дискретизируй, чем оптимизируй» и «сначала оптимизируй, чем дискретизируй», и я знаю о проблемах, которые могут возникнуть, если применить алгоритм к дискретизированной задаче, которая не разделяет все свойства с проблемой для которого был разработан алгоритм.

Обновление: в качестве конкретного примера рассмотрим проблему оптимизации с переменной вL2 и решить его с помощью чего-то вроде (инерционного) расщепления вперед-назад или каким-либо другим методом, для которого только слабая сходимость в L2известен. Для дискретизированной задачи вы можете использовать тот же метод, и с правильной дискретизацией вы получите тот же алгоритм, что и при дискретизации алгоритма напрямую. Что может пойти не так, когда вы увеличите точность дискретизации?

кортик
источник
Какой метод вы думаете о том, где анализируется сходимость до того, как проблема бесконечномерности будет дискретизирована? Вы упомянули оптимизацию, поэтому вы в основном думаете о проблемах оптимизации, связанных с PDE, или есть что-то еще?
Билл Барт
Помимо оптимизации PDE, я имею в виду геометрические вариационные проблемы (например, минимальные поверхности) и проблемы визуализации (например, шумоподавление ТВ, сегментация Мамфорда-Шаха).
Дирк

Ответы:

3

Это правда, что слабая конвергенция наиболее важна в пределе континуума, так как час0(например, не имея возможности наблюдать какую-либо скорость сходимости). По крайней мере, в гильбертовых пространствах она также тесно связана с неединственностью предела и, следовательно, только с последующей последовательной сходимостью (например, когда вы можете чередовать приближение к разным предельным точкам, снова разрушая скорости), и трудно отделить влияние два на конвергенции.

Специально для слабой сходимости в L2у вас также есть тот факт, что сходимость не должна быть точечной, и это вы можете наблюдать при (достаточно тонкой) дискретизации. Вот пример из последовательности минимизаторов{Uε}ε>0 что сходится как ε0 в

U(Икс)знак равно{-1Икс<130Икс[13,23]1Икс>23
где сходимость слабая, но не точечная на [13,23](но точечно почти везде). На следующих рисунках показаны три репрезентативных элемента из последовательности (дляε уже совсем маленький).

слабая сходимость 1 слабая сходимость 2 слабая сходимость 3

Это явление известно как «дребезжание» в приближении задач управления bang-bang для дифференциальных уравнений (т. Е. Задач с рамочными ограничениями, когда решение почти везде достигает либо нижней, либо верхней границы).

(Этот конкретный пример взят из нашей работы по многоканальному управлению эллиптическими системами , Ann. Henri Poincaré (C) 2014, 1109-1130, Замечание 4.2.)

Кристиан Клэйсон
источник
Отличный пример! Однако я не понял, насколько слабая сходимость связана с неединственностью. В общем, нельзя превратить слабую конвергенцию в сильную конвергенцию, когда предел уникален, верно? Но согласитесь, часто у человека есть только слабая сходимость и неединственность.
Дирк
Извините, это было плохо сформулировано; Я не имел в виду, что это всегда так. Я имел в виду проблемы, когда вы обычно получаете сходимость нормы, так что, пока у вас есть сходимость полной последовательности, вы можете «перейти» на сильную сходимость (т. Е. Единственное, что может предотвратить сильную сходимость, это последующая сходимость ).
Кристиан Клэйсон
2

Вопрос, который вы задаете, часто не представляет большой практической проблемы, поскольку слабая сходимость в одной норме может означать сильную сходимость в другой для той же последовательности решений.

Чтобы дать вам один пример, давайте предположим, что мы решаем уравнение Лапласа с достаточно гладкой правой частью на выпуклой многоугольной области со стандартными конечными элементами. Тогда решениеU в ЧАС2, но, конечно, конечно-элементное решение Uчас только в ЧАС1, Мы знаем чтоUчасU сильно в обоих L2 а также ЧАС1 норм как максимальный размер сетки час0 потому что у нас есть априорные оценки ошибок | |U-Uчас| |L2Счас2 а также | |U-Uчас| |ЧАС1Счас,

Но ясно, что мы не можем ожидать UчасU сильно в ЧАС2 поскольку Uчас только в ЧАС1, Но мы могли бы иметьUчасU слабо в ЧАС2(на самом деле, я думаю, что это так). Тогда это, вероятно, будет означать утверждение, такое как

2(U-Uчас),2vо(1)vЧАС2,

Дело в том, что вопрос слабой и сильной сходимости, как правило, является вопросом о том, на какую норму вы смотрите, а не свойством последовательности решений, которую вы получаете из своего метода.

Вольфганг Бангерт
источник
Это правда, но в какой-то момент норма становится слишком слабой, чтобы быть практически полезной (например, когда у вас есть только слабая конвергенция в L2, что может означать сильную сходимость в отрицательных соболевских нормах, которые не локализуются).
Кристиан Клэйсон
@ChristianClason, можете ли вы рассказать, на что это похоже, когда такой метод дискретизируется. Они работают? Так далее?
Билл Барт
Я имел в виду случай, когда дискретизированная норма фактически приближается к норме, в которой происходит только слабая сходимость (обычно L2).
Дирк