Оценка колебательных интегралов со многими независимыми периодами и без замкнутых форм

Большинство методов для осциллирующих интегралов, о которых я знаю, имеют дело с интегралами вида

Если у меня есть интеграл вида

В отличие от случая $e^{i\omega x}$полиномиальные интегралы $\int x^a \prod g_k(x)$ не известны, поэтому я не могу построить набор полиномиальных интерполантов для $f(x)$ и точно интегрировать интерполанты.

В моей точной проблеме, $g_k$это функции Бесселя $J_0(\omega_k x)$, а также $f(x)=x^\alpha$и область интеграции $[0,\infty)$, Метод, который я использую сейчас, заключается в суммировании интегральных вкладов за интервалы$[x_{k-1},x_k]$ между корнями до некоторой обрезки $M$, затем используйте асимптотическое разложение для $g_k(x)$ для большого $x$, Временная сложность этого алгоритма экспоненциальна в$n$ потому что это предполагает расширение продукта $g_1\ldots g_n$каждый из которых имеет номер $r$ асимптотических терминов, давая $r^n$общие условия; слишком короткие сроки обрезки не сокращают время выполнения, достаточное для того, чтобы сделать это возможным для больших$n$,

Эвристические не строгие ответы, предложения и рекомендации приветствуются.

Я работал над более простыми интегралами, где есть точки стационарной фазы. Я нашел два метода, которые работают довольно хорошо.

Одним из них является введение экспоненциального коэффициента демпфирования, который зависит от фазовой функции, своего рода искусственной вязкости, если хотите.

Другой метод (где есть несколько точек стат. Фазы) был описан в:

Tuck, EO, Collins, JL and Wells, WH, "О судовых волнах и их спектрах", Journal of Ship Research, с. 11–21, 1971.

Этот метод применяет экспоненциальные коэффициенты затухания к подынтегральному выражению, где оно быстро колеблется от стата. фазовые точки, но оставляют подынтегральную функцию нетронутой, где она не

Это я вне идей!

Пока у вас есть точные значения для корней (или экстремумов) колебательной части вашего подынтегрального выражения, метод Лонгмана (как я описал в этом ответе ) остается применимым. Все, что вам нужно сделать, это оценить набор интегралов с интервалами между корнями, используя ваш любимый квадратурный метод, и рассматривать эти интегралы как члены некоторых чередующихся рядов. Затем вы можете использовать любое количество методов ускорения сходимости (Эйлера, Левина, Венигера и т. Д.), Чтобы «суммировать» этот чередующийся ряд.

В качестве примера, в этом ответе по математике. Я оценил бесконечный интеграл, осциллирующая часть которого является произведением двух функций Бесселя.