Представление чисел Эйзенштейна без поплавков

У меня есть проект , где нужно использовать квадратные поля В частности число вида$a + b \sqrt{-3}$ с $a,b \in \mathbb{Q}$,

Например, вот простые числа в числах Эйзенштейна :

Я не хочу использовать шалфей. Я хотел бы написать свой собственный тип данных для включения numpy. PARI был бы полезен - но он не совместим с Python.

• Дополнение к этим объектам довольно понятно $$(a_1 + b_1 \sqrt{-3}) + (a_2 + b_2 \sqrt{-3}) = (a_1 + a_2) + (b_1+b_2) \sqrt{-3}$$
• Умножение немного деликатнее, но мы также можем жестко его кодировать $$(a_1 + b_1 \sqrt{-3}) \times (a_2 + b_2 \sqrt{-3}) = (a_1 a_2 - 3 b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)\sqrt{-3}$$
• Мой тип данных также должен учитывать разделение. Для простоты возьмем ответ: $$\frac{1}{a + b \sqrt{-3}} = \frac{a - b \sqrt{-3}}{a^2 + 3b^2}$$

Существует ли естественный матричный способ кодирования этих операций, подобный тому, как $\mathbb{C}$ может быть написано с точки зрения $2 \times 2$ Матрицы?

$$\left( \begin{array}{cc} a & b \\ -b & a \end{array}\right)$$

Может быть, я просто жестко закодирую операции как тройки с тремя операциями, описанными выше. Любые идеи?

За $a+b\sqrt{-3}$ Вы можете использовать представление

$$\begin{pmatrix}a&-3b\\b&a\end{pmatrix}$$ Дополнение работает очевидно. Для умножения вы можете проверить $$\begin{pmatrix}a_1&-3b_1\\b_1&a_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_2&-3b_2\\b_2&a_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1a_2-3b_1b_2&-3(a_1b_2+b_1a_2)\\a_1b_2+b_1a_2&a_1a_2-3b_1b_2\end{pmatrix}$$ что сохраняет представление, таким образом, мы имеем гомоморфизм кольца.

Взятие определителя матрицы дает (квадрат) норму $a^2+3b^2$таким образом, обратные соотношения соответствуют обратным матрицам, как и ожидалось.

Вы уже рассмотрели использование троек , и я предполагаю, что вы будете использовать целые числа и общий знаменатель. Этот подход может быть полезен и в матричном представлении.

Обновление : общий метод для матричных представлений использует сопутствующую матрицу . Например, предположим, что вы хотите представлять$a+b\omega$ вместо того, где $\omega=\exp(\frac{2\pi\mathrm{i}}{3})$таким образом $\omega^2+\omega+1=0$, Сопутствующая матрица$\omega$ является $\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}$и это ведет себя во всех связанных с ним операциях вызова, таких как $\omega$сам. Конечно,$1$ может быть представлен как $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$; поэтому матричное представление$a+b\omega$ является

$$\begin{pmatrix}a&-b\\b&a-b\end{pmatrix}$$ Вы можете проверить, что это кольцевой гомоморфизм. Кроме того, это легко увидеть. Для умножения соответствующие формулы теперь $$\begin{align} (a_1+b_1\omega)(a_2+b_2\omega)&=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2-b_1b_2)\omega \\\begin{pmatrix}a_1&-b_1\\b_1&a_1-b_1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_2&-b_2\\b_2&a_2-b_2\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}a_1a_2-b_1b_2&-(a_1b_2+b_1a_2-b_1b_2)\\ a_1b_2+b_1a_2-b_1b_2&a_1a_2-a_1b_2-b_1a_2\end{pmatrix} \end{align}$$

Я предполагаю, что вы хотите точную рациональную арифметику для всего, поскольку ошибки с плавающей запятой могут сделать $1/z$ не в $\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$ даже если $z$является. Для этого вы можете взглянуть на пакет SymPy ; если вы не используете их рациональный тип данных напрямую, это может послужить источником вдохновения для вашей собственной версии. Затем вы можете построить свой тип квадратичного поля поверх любого рационального числового типа, который вы выберете.

Независимо от того, как вы представляете элементы своего поля, вы можете перегружать операторы в Python, используя «магические методы». Смотрите также этот пост о создании собственного числового типа в Python.

Я не думаю, что было бы намного больше работы, кодирующей представление элемента квадратичного поля либо в виде матрицы 2 × 2 рациональных чисел, либо в виде пары рациональных чисел, поскольку арифметические операции не так сложны. Тем не менее, я подозреваю, что второй подход будет быстрее.