Можно ли обобщить сферу Блоха на два кубита?

Сфера Блоха - это хорошая визуализация состояний одного кубита. Математически он может быть обобщен на любое количество кубитов с помощью многомерной гиперсферы. Но такие вещи не легко визуализировать.

Какие попытки были предприняты для расширения визуализаций, основанных на сфере Блоха, до двух кубитов?

Для чистых состояний существует достаточно простой способ сделать «сферу с двумя кубитами» . Вы в основном используете разложение Шмидта, чтобы разделить ваше состояние на два случая: не запутанный и полностью запутанный. Для не запутанной части, вы просто используете две сферы. И тогда запутанная часть изоморфна множеству возможных вращений в трехмерном пространстве (вращение - это то, как вы переводите измерения на одном кубите в предсказания на другом кубите). Это дает вам представление с восемью реальными параметрами:

1) Действительное значение w между 0 и 1, указывающее вес незапутанного и полностью запутанного.

2 + 3) Не запутанный единичный вектор Блоха для кубита 1.

4 + 5) Не запутанный единичный вектор Блоха для кубита 2.

6 + 7 + 8) Полностью запутанное вращение.

Вот как это выглядит, если вы показываете вращающуюся часть как «где отображаются оси XY и Z», и дополнительно масштабируете оси на w так, чтобы они становились больше, чем больше вы запутались:

(Отскок в среднем из-за численного вырождения в моем коде.)

Что касается смешанных состояний, у меня был небольшой успех, показывающий оболочку векторов Блоха, предсказанных для кубита 2 при каждом возможном измерении кубита 1. Это выглядит так:

Но обратите внимание, что а) это представление «огибающей» не является симметричным (один из кубитов является контрольным, а другой - целевым объектом) и б) хотя он выглядит симпатично, он не алгебраически компактен.

Это отображение доступно в альтернативной ветке dev-entanglement-display Quirk. Если вы можете следовать инструкциям по сборке, то можете поиграть с ним напрямую.

Поскольку неприводимое представление спина $j$ в $SU(2)$ имеет размерность $2j+1$ ( $j$ - полуцелое число), любое конечномерное гильбертово пространство может быть получено как пространство представления $SU(2)$ . Более того, поскольку все неприводимые представления $SU(2)$ являются симметричными тензорными произведениями фундаментального спинорного представления, поэтому каждое конечномерное гильбертово пространство можно рассматривать как симметричное тензорное произведение фундаментального $SU(2)$ фундаментальные пространства представлений.

$2j+1$$2j$$2j$$2j$

$2j+1$

(The parametrization is by means of the stereographic projection coordinate $z = \tan \theta e^{i\phi}$ ($\theta$, $\phi$ are the spherical coordinates))

One application of this representation to quantum computation, is in the visualization of the trajectories giving rise to geometric phases, which serve as the gates in holonomic quantum computation. These trajectories are reflected as trajectories of the Majorana stars on the Bloch spheres and the geometric phases can be computed from the solid angles enclosed by these trajectories. Please see Liu and Fu's work on Abelian geometric phases. A treatment of some non-Abelian cases is given by Liu Roy and Stone.

Finally, let me remark that there are many geometric representations relevant to quantum computation, but they are multidimensional and may be not useful in general as visualization tools. Please see for example Bernatska and Holod treating coadjoint orbits which can serve as phase spaces of the finite dimensional Hilbert spaces used in quantum computation. The Grassmannian which parametrizes the ground state manifold of adiabatic quantum Hamiltonians is a particular example of these spaces.

For more than 1-qubit visualization, we will need more complex visualizations than a Bloch sphere. The below answer from Physics Stack Exchange explains this concept quite authoritatively:

Bloch sphere for 2 and more qubits

In another article, the two qubit representation is described as a seven-dimensional sphere, S 7, which also allows for a Hopf fibration, with S 3 fibres and a S 4 base. The most striking result is that suitably oriented S 7 Hopf fibrations are entanglement sensitive.

Geometry of entangled states, Bloch spheres and Hopf fibrations

Having said that, a Bloch sphere based approach is quite useful even to model the behavior of qubits in a noisy environment. There has been analysis of the two-qubit system by use of the generalized Bloch vector to generate tractable analytic equations for the dynamics of the four-level Bloch vectors. This is based on the application of geometrical concepts from the well-known two-level Bloch sphere.

We can find that in the presence of correlated or anti-correlated noise, the rate of decoherence is very sensitive to the initial two-qubit state, as well as to the symmetry of the Hamiltonian. In the absence of symmetry in the Hamiltonian, correlations only weakly impact the decoherence rate:

Bloch-sphere approach to correlated noise in coupled qubits

There is another interesting research article on the representation of the two-qubit pure state parameterized by three unit 2-spheres and a phase factor.For separable states, two of the three unit spheres are the Bloch spheres of each qubit with coordinates (A,A) and (B,B). The third sphere parameterises the degree and phase of concurrence, an entanglement measure.

This sphere may be considered a ‘variable’ complex imaginary unit t where the stereographic projection maps the qubit-A Bloch sphere to a complex plane with this variable imaginary unit. This Bloch sphere model gives a consistent description of the two-qubit pure states for both separable and entangled states.

As per this hypothesis, the third sphere (entanglement sphere) parameterizes the nonlocal properties, entanglement and a nonlocal relative phase, while the local relative phases are parameterized by the azimuthal angles, A and B, of the two quasi-Bloch spheres.

Bloch sphere model for two

У нас есть несколько мультикубитных визуализаций в пакете Q-CTRL Black Opal .

Все они полностью интерактивны и призваны помочь интуитивно понять корреляции во взаимодействующих системах с двумя кубитами.

Две блоховские сферы представляют соответствующие разделимые состояния двух кубитов. Тетраэдры в середине визуально фиксируют корреляции между некоторыми проекциями двух кубитов. Когда нет запутывания, векторы Блоха живут полностью на поверхностях соответствующих сфер. Однако полностью запутанное состояние живет исключительно в пространстве корреляций в этом представлении. Экстремумы этих пространств всегда будут максимально запутанными состояниями, такими как состояния Белла, но максимально запутанные состояния также могут одновременно находиться в нескольких тетраэдрах.

A paper has been published on the subject, called "Bloch sphere model for two-qubit pure states"

https://arxiv.org/abs/1403.8069