Учитывая разложение для унитарного

13

Предположим, что у нас есть разложение схем унитарного U с использованием некоторого универсального набора затворов (например, CNOT-вентили и унитарные однобитные). Есть ли прямой способ записать схему соответствующего контролируемого унитарногоCU используя тот же универсальный набор затворов?

Например, возьмем U=iY=HXHX в качестве схемы:
схема для U

Мы можем заменить ворота X на CX (CNOT), чтобы получить CU :
схема для ТС

Это работает, потому что если контрольный кубит находится в состоянии действие на цель H 2 = I , в то время как для | 1 она применяет схему для U . Для разных U , в частности, если он действует на несколько кубитов, создание такой схемы может быть громоздким. Есть ли рецепт для получения схемы C U, учитывая, что вы знаете, как построить U ?|0H2=I|1UUCUU

М. Стерн
источник
Вы спрашиваете, как построить CU из произвольного однобитного U? Метод для этого можно найти в главе 4 N & C (см., Например, рис. 4.6 в последнем издании), которая в основном является обобщением разложения, которое вы показали
glS
@ вау, я не знал об этом. Выглядит так же, как мой пример. Приятно видеть, как реализуется фаза . Но они, кажется, не обсуждают обобщение для большего количества целевых кубитов? α
М. Штерн

Ответы:

15

Вопрос может быть не совсем четким, в том смысле, что для запроса способа вычисления из разложения U вам нужно указать набор элементов, которые вы готовы использовать. Действительно, это известный результат, что любой n- кубитный вентиль может быть точно разложен с использованием операций CNOT и однобитного, так что наивный ответ на вопрос будет таким: просто разложить C ( U ) с использованием однобитного и CNOTC(U)UnCNOTC(U)CNOT s.

Иное толкование вопроса состоит в следующем: дано , может я вычислить C ( U ) с использованием набора одного кубита операций и CNOT с не на контрольной кубите и CNOT с с контролем , являющийся первым кубитом? Это можно сделать, обобщив результат, найденный в четвертой главе Nielsen & ChuangUC(U)CNOTCNOT .

Пусть - одноквитный вентиль. Затем можно доказать, что U всегда можно записать в виде U = e i α A X B X C , где X - вентиль Паули X, а A , B и C - операции с одним кубитом, такие что A B C = I ( см. N & C для доказательства). Отсюда следует, что C ( U ) = Φ 1 ( α ) A 2 C ( X ) BUUU=eiαAXBXCXA,BCABC=I где Φ 1

C(U)=Φ1(α)A2C(X)B2C(X)C2,
является фазовым затвором, применяемым к первому кубиту, и A 2 , B 2 , C 2 представляют собой A , B , C применяется ко второму кубиту. Это сразу, как только вы поймете, что, если этот первый кубит равен | 0 , то С ( Х )Φ1(α)(100eiα)IA2,B2,C2A,B,C|0C(X)становится идентичностью, и на втором кубите у вас есть операции , которые дают идентичность. С другой стороны, если первый кубит равен | 1 , а затем на втором рельсе вы имеете Й В Й С , который (вместе с фазой) равна U по определению.ABC|1AXBXCU

Вышеупомянутое разложение может использоваться, чтобы найти наивный способ вычисления для общего n- кубитного унитарного вентиля. Основное наблюдение состоит в том, что , если U = 1 2м для любого набора вентилей { A 1 , . , , A m } , то C ( U ) = C ( A 1 ) C ( A 2 ) C ( A m )C(U)nU=A1A2Am{A1,..,Am}

C(U)=C(A1)C(A2)C(Am).
Но мы также знаем, что любой кубит UnU можно разложить в терминах CNOT и операций с одним кубитом. Отсюда следует, что представляет собой последовательность операций CCNOT и C ( V ) , где CCNOT - это здесь X- вентиль, применяемый к некоторому кубиту, обусловленному двумя другими кубитами, являющимися | 1 , и V представляет собой операцию одного кубита на некотором кубите. Но опять же, любая операция CCNOT (также называемая Toffoli ) может быть разложена, как показано на рисунке 4.9 в N & C, и C ( V )C(U)C(V)X|1VC(V) разложены, как показано в первой части ответа.

nUCNOT

GLS
источник
U=A1A2AmC(X) and single qubit gates. Then for single-qubit gates we replace Ai by C(Ai), which is constructed following the description in N&C. And the C(X) are replaced by Toffoli gates (which might also be decomposed). Right?
M. Stern
@M.Stern well almost. If U contains a C(X) (which more precisely would be a C(X)ij, acting between i-th and j-th qubit, with i,j>1), then the equivalent gate in C(U) is already a Toffoli gate, with first and i-th qubits as control and j-th qubit as target. You can therefore go and replace the Toffolis using the known decompositions
glS
5

Although this might not answer your question completely, I think it might provide some direction of thinking. Here are two important facts:

  • Any unitary 2n×2n matrix M, can be realized on a quantum computer with n-quantum bits by a finite sequence of controlled-not and single qubit gates1.

  • Suppose U is a unitary 2×2 matrix satisfying tr U0, tr(UX)0, and det U1. Then six elementary gates are necessary and sufficient to implement a controlled U-gate2.

It should be possible to extend the second case to the general n×n case, given the first point, although I haven't found any paper which does that explicitly.


1 Elementary gates for quantum computation-A. Barenco (Oxford), C. H. Bennett (IBM), R. Cleve (Calgary), D. P. DiVincenzo (IBM), N. Margolus (MIT), P. Shor (AT&T), T. Sleator (NYU), J. Smolin (UCLA), H. Weinfurter (Innsbruck)

2 Optimal Realizations of Controlled Unitary Gates - Guang Song, Andreas Klappenecker (Texas A&M University)

Sanchayan Dutta
источник