Решение этой задачи можно аппроксимировать для большинства параметрических траекторий. Идея заключается в следующем: если вы достаточно сильно приблизитесь к кривой, вы не сможете отличить саму кривую от ее касательной в этой точке.
Делая это предположение, нет необходимости предварительно вычислять что-либо больше, чем два вектора (три для кубических кривых Безье и т . Д. ).
Таким образом, для кривой M(t) мы вычисляем ее касательный вектор dMdt в точкеt. Норма этого вектора∥dMdT∥иследовательнорасстояниепройденноетечение длительностиΔtможет быть аппроксимировано как∥dMdT∥Δt. Отсюда следует, что расстояниеLпреодолевается за времяL÷∥dMdT∥.
Применение: квадратичная кривая Безье
Если контрольными точками кривой Безье являются A , B и С , траектория может быть выражена как:
M( т )= ( 1 - т )2A + 2 т ( 1 - т ) B + т2С= т2(A−2B+C)+t(−2A+2B)+A
Таким образом, производная:
dMdT= t ( 2 A - 4 B + 2C)+(−2A+2B)
Вам просто нужно хранить векторы v⃗ 1=2A−4B+2C и v⃗ 2=−2A+2B где-нибудь. Затем для заданного t , если вы хотите продвинуться на длину L , вы делаете:
t=t+Llength(t⋅v⃗ 1+v⃗ 2)
Кубические кривые Безье
То же самое относится и к кривой с четырьмя контрольными точками A , B , C и D :
M(t)=(1−t)3A+3t(1−t)2B+3t2(1−t)C+t3D=t3(−A+3B−3C+D)+t2(3A−6B+3C)+t(−3A+3B)+A
Производная это:
dMdt=t2(−3A+9B−9C+3D)+t(6A−12B+6C)+(−3A+3B)
Мы предварительно вычислим три вектора:
v⃗ 1v⃗ 2v⃗ 3=−3A+9B−9C+3D=6A−12B+6C=−3A+3B
и окончательная формула:
t=t+Llength(t2⋅v⃗ 1+t⋅v⃗ 2+v⃗ 3)
Accuracy issues
If you are running at a reasonable framerate, L (which should be computed according to the frame duration) will be sufficiently small for the approximation to work.
However, you may experience inaccuracies in extreme cases. If L is too large, you can do the computation piecewise, for instance using 10 parts:
for (int i = 0; i < 10; i++)
t = t + (L / 10) / length(t * v1 + v2);
L
is sufficiently small, this approximation is actually always more accurate than the answer below, yes. It also uses less memory (because it uses the derivative instead of storing all point values). WhenL
starts to grow, you can use the technique I suggest at the end.You need to reparamaterize the curve. The easiest way to do this is to calculate the arc lengths of several segments of the curve and use these to figure out where you should sample from. For example, maybe at t=0.5 (halfway through), you should pass s=0.7 to the curve to get the "halfway" position. You need to store a list of arc lengths of various curve segments to do this.
There are probably better ways, but here's some very simple C# code I wrote to do this in my game. It should be easy to port to Objective C:
Edit: It's worth noting that this won't give you the exact arc length, since it's impossible to get the arc length of a cubic curve. All this does is estimate the length of the various segments. Depending on how long the curve is, you may need to increase the resolution to prevent it from changing speeds when it reaches a new segment. I usually use ~100, which I have never had a problem with.
источник
Очень легкое решение - приблизить скорость, а не аппроксимировать кривую. На самом деле этот подход не зависит от функции кривой и позволяет вам использовать любую точную кривую вместо использования производных или приближений.
Вот код для C # Unity 3D:
Хотя решение не зависит от функции кривой, я хотел бы отметить это здесь, так как я также искал, как достичь постоянной скорости на кривой Безье, и затем я придумаю это решение. Учитывая популярность функции, это может быть полезно здесь.
источник
Я ничего не знаю о cocos2, но кривая Безье - это некое параметрическое уравнение, поэтому вы должны иметь возможность получать значения x и y в терминах времени.
источник