Вывод уравнения турбулентной кинетической энергии

6

Я пытаюсь понять вывод уравнения турбулентной кинетической энергии, как описано в этой ссылке: Оценка моделей турбулентности RANS для задач обтекания со значительным воздействием пограничных слоев .

Я могу выполнить уравнение 2.26 на слайде 11 (т.е. на странице 9), в котором говорится

ρUя'TUя'¯+ρ(UJUяИксJUя¯-U¯JUя'ИксJU¯я)знак равно-п'ИксJUя'¯+νUя'2Uя'¯+ρ(Uя'UJ'¯)ИксJU¯я,

где штрихи обозначают средние по ансамблю величины под столбцами. Обратите внимание, что здесь среднее значение продукта не обязательно равно произведению среднего значения каждого термина.

По ссылке, используя только правила усреднения, термин

(UJUяИксJUя¯-U¯JUя'ИксJU¯я)

может быть упрощен, чтобы стать

Uя'Uя'ИксJ¯U¯J+Uя'ИксJUя'UJ'¯+Uя'ИксJUJ'¯U¯я+UJ'Uя'¯UяИксJ,

Если я подставлю это непосредственно в предыдущее уравнение, я получу

ρ(Uя'TUя'¯+Uя'Uя'ИксJ¯U¯J+Uя'ИксJUя'UJ'¯+Uя'ИксJUJ'¯U¯ямой 4-й срок+UJ'Uя'¯UяИксJ)знак равно-п'ИксJUя'¯+νUя'2Uя'¯+ρ(Uя'UJ'¯)ИксJU¯я,

Однако их вывод дает

ρ(Uя'TUя'¯+Uя'Uя'ИксJ¯U¯J+Uя'ИксJUя'UJ'¯+Uя'UJ'ИксJ¯U¯яих 4-й срок+UJ'Uя'¯UяИксJ)знак равно-п'ИксJUя'¯+νUя'2Uя'¯+ρ(Uя'UJ'¯)ИксJU¯я,

Единственная разница между моими и их производными - это 4-й член в левой части уравнения. Я уверен, что их 4-й член верен, поскольку он должен быть удален с помощью члена в правой части уравнения. Тем не менее, я не могу понять, как они получили свой 4-й член по LHS уравнения. Ссылка предполагает, что задействованы правило цепочки и предположение о несжимаемости, но я не уверен, как это сделать.

В частности, термин черта рассматривается как единый термин. Таким образом, как я могу применить правило цепи к ( ¯ U ' я у ' J )Uя'UJ'¯ ? (Uя'UJ'¯)ИксJ

Любые советы для завершения пропущенных шагов будет принята с благодарностью.

Павел
источник

Ответы:

5

Два слагаемых равны из-за правила произведения и уравнения непрерывности. Однако использование уравнения неразрывности может быть неочевидным.

Uязнак равноU¯я+Uя'

U¯JИксJзнак равно0

Вычтите вышеприведенное уравнение из неосредненного уравнения неразрывности, чтобы увидеть, что флуктуации также не имеют расходимостей:

UJ'ИксJзнак равно0

Теперь примените правило продукта к интересующему сроку (перед усреднением):

Uя'UJ'ИксJзнак равноUJ'Uя'ИксJ+Uя'UJ'ИксJ

Второй член равен нулю по непрерывности, как показано выше, и это завершает вывод. Средние коммутируют, поэтому среднее производной такое же, как производное среднего.

Бен Треттель
источник
1
Термин «правило цепи» здесь вводит в заблуждение ... Правило продукта - это то, что действительно применяется, а не правило цепи.
Пол
Да вы правы. Я думал о том, что вы предложили, но в итоге сделал что-то другое. Я исправил ответ. Благодарю.
Бен Треттель