Вывод уравнения турбулентной кинетической энергии

Я пытаюсь понять вывод уравнения турбулентной кинетической энергии, как описано в этой ссылке: Оценка моделей турбулентности RANS для задач обтекания со значительным воздействием пограничных слоев .

Я могу выполнить уравнение 2.26 на слайде 11 (т.е. на странице 9), в котором говорится

$$\rho \overline{\frac{\partial u_i'}{\partial t}u_i'} + \rho\left( \overline{u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}u_i} -\bar{u}_j\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}\bar{u}_i\right) = -\overline{\frac{\partial p'}{\partial x_j}u_i'} + \nu\overline{u_i'\nabla^2u_i'} + \rho \frac{\partial (\overline{u_i'u_j'})}{\partial x_j}\bar{u}_i,$$

где штрихи обозначают средние по ансамблю величины под столбцами. Обратите внимание, что здесь среднее значение продукта не обязательно равно произведению среднего значения каждого термина.

По ссылке, используя только правила усреднения, термин

$$\left( \overline{u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}u_i} -\bar{u}_j\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}\bar{u}_i\right)$$

может быть упрощен, чтобы стать

$$\overline{u_i'\frac{u_i'}{\partial x_j}}\bar{u}_j + \overline{\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}u_i'u_j'} + \overline{\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}u_j'}\bar{u}_i + \overline{u_j'u_i'}\frac{\partial u_i}{\partial x_j}.$$

Если я подставлю это непосредственно в предыдущее уравнение, я получу

$$\rho \left( \overline{\frac{\partial u_i'}{\partial t}u_i'} + \overline{u_i'\frac{u_i'}{\partial x_j}}\bar{u}_j + \overline{\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}u_i'u_j'} + \underbrace{\overline{\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}u_j'}\bar{u}_i}_{\text{my 4th term}} + \overline{u_j'u_i'}\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right) = -\overline{\frac{\partial p'}{\partial x_j}u_i'} + \nu\overline{u_i'\nabla^2u_i'} + \rho \frac{\partial (\overline{u_i'u_j'})}{\partial x_j}\bar{u}_i.$$

Однако их вывод дает

$$\rho \left( \overline{\frac{\partial u_i'}{\partial t}u_i'} + \overline{u_i'\frac{u_i'}{\partial x_j}}\bar{u}_j + \overline{\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}u_i'u_j'} + \underbrace{\overline{\frac{\partial u_i'u_j'}{\partial x_j}}\bar{u}_i}_{\text{their 4th term}} + \overline{u_j'u_i'}\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right) = -\overline{\frac{\partial p'}{\partial x_j}u_i'} + \nu\overline{u_i'\nabla^2u_i'} + \rho \frac{\partial (\overline{u_i'u_j'})}{\partial x_j}\bar{u}_i.$$

Единственная разница между моими и их производными - это 4-й член в левой части уравнения. Я уверен, что их 4-й член верен, поскольку он должен быть удален с помощью члена в правой части уравнения. Тем не менее, я не могу понять, как они получили свой 4-й член по LHS уравнения. Ссылка предполагает, что задействованы правило цепочки и предположение о несжимаемости, но я не уверен, как это сделать.

В частности, термин черта рассматривается как единый термин. Таким образом, как я могу применить правило цепи к ∂ ( ¯ U ' я у ' J$\overline{u_i'u_j'}$ ? $\frac{\partial (\overline{u_i'u_j'})}{\partial x_j}$

Любые советы для завершения пропущенных шагов будет принята с благодарностью.

Два слагаемых равны из-за правила произведения и уравнения непрерывности. Однако использование уравнения неразрывности может быть неочевидным.

$u_i = \overline{u}_i + u^\prime_i$

$$\frac{\partial \overline{u}_j}{\partial x_j} = 0$$

Вычтите вышеприведенное уравнение из неосредненного уравнения неразрывности, чтобы увидеть, что флуктуации также не имеют расходимостей:

$$\frac{\partial u^\prime_j}{\partial x_j} = 0$$

Теперь примените правило продукта к интересующему сроку (перед усреднением):

$$\frac{\partial u^\prime_i u^\prime_j}{\partial x_j} = u^\prime_j \frac{\partial u^\prime_i}{\partial x_j} + u^\prime_i \frac{\partial u^\prime_j}{\partial x_j}$$

Второй член равен нулю по непрерывности, как показано выше, и это завершает вывод. Средние коммутируют, поэтому среднее производной такое же, как производное среднего.