Почему Mach 0.3 является порогом, разделяющим сжимаемый и несжимаемый поток?

13

Я читал, что число Маха 0.3 в значительной степени является верхним пределом для обработки воздуха как несжимаемой жидкости. Источники, которые я прочитал, похоже, воспринимают это как данность, без доказательств и оправданий.

Почему это предел? Есть ли математическое обоснование для этого? Кроме того, это ограничение распространяется только на воздух? Если нет, то от чего зависит предел?

Павел
источник

Ответы:

11

Википедия приводит причину Маха 0,3 как из-за того, что это достигает ~ 5% изменения плотности.

Я нашел страницу НАСА, которая описывает (аналитически!) Отношения. Я процитировал источник, но я воспроизведу здесь работу для потомков, если их ссылки изменятся.

Начнем с сохранения импульса:

(ρV)dV=dp

где ρ - плотность жидкости, V - скорость, а p - давление. для изоэнтропического потока:

dpp=γdρρdp=(γpρ)dρ

где γ - коэффициент удельной теплоемкости. Закон идеального газа дает:

p=ρRT

где R - удельная газовая постоянная, а T - абсолютная температура. Итак, подставив:

dp=γRTdρ

Скорость звука можно рассчитать по:

γRT=a2

где a - скорость звука, а значит:

dp=a2dρ

Подставляя вышеприведенное выражение в уравнение сохранения импульса, получаем:

(ρВ)dВзнак равно-a2dρ-(В2a2)dВ/Взнак равноdρ/ρ-M2dВ/Взнак равноdρ/ρ

M

Как примечание, это основано на числе Маха, которое, в свою очередь, зависит от скорости звука в газе, поэтому оно автоматически регулируется для каждого газа.

цыпленок
источник
@Paul это происходит от сохранения импульса. это не столько «правило», сколько предложение. если вас не волнует изменение плотности (или других величин) на 10% (или выше), используйте несжимаемые соотношения для больших чисел Маха. если вы делаете заботы о небольших изменениях плотности, а затем использовать сжимаемые отношения даже при малых числах Маха
costrom
4
Это не просто плотность. Когда мы безразмерны уравнения, мы получаем безразмерные группы. Практическое правило заключается в том, что если безразмерная группа меньше 0,1, мы можем игнорировать соответствующие термины. В случае числа Маха оно отображается в квадрате. Итак, мы хотим (число Маха) ^ 2 <0,1. Это примерно дает 0,3. Это не только плотность - в основном все вещи, которые изменяются с более высокой скоростью, будут затронуты примерно на 10%, как только число Маха достигнет 0,3.
Джоэл
@Joel - Для контекста, OP спрашивал конкретно о сжимаемости, поэтому этот ответ охватывает только плотность.
Чак
2
Я бы пояснил, что это не четкая разделительная линия. Если у вас более низкий допуск к ошибкам, начните использовать сжимаемое решение при меньших числах Маха. Если вам все равно, продолжайте предполагать несжимаемость при больших числах Маха. 10% - это произвольный выбор того, сколько ошибок «действительно имеет значение», а 0,3 математически, но не менее произвольно, выпадает из этого.
Хоббс
1
@ chuck - здесь придирчиво, но трактовать что-то как несжимаемую жидкость означает, что я могу сказать, что расхождение поля скоростей равно 0. Это влияет гораздо больше, чем просто плотность - до такой степени, что когда я иду на разговор и кто-то говорит он предполагает, что это несжимаемая жидкость, обычно это не утверждение о плотности.
Джоэл