В чем разница между полярным моментом инерции,

Этот вопрос настолько фундаментален, что мне почти стыдно его задавать, но он возник на работе на днях, и почти никто в офисе не смог дать мне хороший ответ. Я рассчитывал напряжение сдвига в элементе, используя уравнение,$\frac{Tr}{J_T}$ и заметил, что для вала с круглым сечением, $J_T = I_P$,

Обе $I_P$ а также $J_T$ используются для описания способности объекта сопротивляться кручению. $I_P$ определяется как, $\int_{A} \rho^2 dA$ где $\rho$ = радиальное расстояние до оси, вокруг которой $I_P$рассчитывается. Но$J_T$ не имеет точных аналитических уравнений и рассчитывается в основном с приближенными уравнениями, на которые я не обращал внимания в действительности.

Итак, мой вопрос, в чем разница между полярным моментом инерции, $I_P$и постоянная кручения, $J_T$? Не только математически, но и практически. Какое физическое или геометрическое свойство каждый представляет? Почему$J_T$ так сложно посчитать?

Постоянная кручения $J_T$ связывает угол закручивания с приложенным крутящим моментом через уравнение:

$$\phi = \frac{TL}{J_T G}$$ где $T$ приложенный крутящий момент, $L$ длина члена, $G$ является модулем упругости при сдвиге, и $J_T$ постоянная кручения.

Полярный момент инерции, с другой стороны, является мерой сопротивления поперечного сечения кручению с инвариантным поперечным сечением и без значительной деформации .

Случай круглого стержня при кручении является особенным из-за круговой симметрии, что означает, что он не деформируется и его поперечное сечение не изменяется при кручении. Следовательно$J_T = I_P$,

Когда член не имеет круговой симметрии, мы можем ожидать, что он будет деформироваться при кручении и, следовательно, $J_T \neq I_P$,

Что оставляет проблему, как рассчитать $J_T$, К сожалению, это не так просто, поэтому значения (как правило, приблизительные) для обычных форм сведены в таблицу.

Одним из способов вычисления постоянной кручения является использование функции напряжения Прандтля (другой - использование функций деформации ).

Не вдаваясь в подробности, нужно выбрать функцию напряжения Прандтля $\Phi$который представляет распределение напряжений внутри элемента и удовлетворяет граничным условиям (в общем, непросто!). Оно также должно удовлетворять уравнению совместимости Пуассона:

$$\nabla^2 \Phi = -2 G \theta$$ куда $\theta$ угол поворота на единицу длины.

Если мы выбрали функцию напряжения так, чтобы $\Phi = 0$ на границе (условие свободной тяги) мы можем найти постоянную кручения:

$$J_T = 2\int_A \frac{\Phi}{G\theta} dA$$

Пример: стержень круглого сечения

Из-за симметрии круглого сечения мы можем взять:

$$\Phi = \frac{G\theta}{2} (R^2-r^2)$$ где R - внешний радиус Затем мы получаем: $$J_T = 2\pi\int_0^R (R^2-r^2)rdr = \frac{\pi R^4}{2} = (I_P)_{circle}$$

Пример: стержень эллиптического сечения

$$\Phi = G\theta\frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)$$ а также $$J_T = \int_A \frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)dA = \frac{\pi a^3 b^3}{a^2+b^2}$$ который, конечно, не равен полярному моменту инерции эллипса: $$(I_P)_{ellipse} = \frac{1}{4}\pi a b(a^2+b^2) \neq (J_T)_{ellipse}$$

Так как в целом $J_T < I_P$Если бы вы использовали полярный момент инерции вместо постоянной кручения, вы бы рассчитали меньшие углы кручения.

Это почти совпадение, и это верно только для сплошных или полых круглых сечений. Конечно, валы, несущие кручение, часто бывают круглыми по причинам, не зависящим от вопроса!

Кручение круглого вала физически просто из-за симметрии круглой формы. По симметрии напряжения и деформации в любой точке могут зависеть только от радиального расстояния от центральной линии вала. По теореме Пифагора, вы можете взять произвольную пару осей и выразить радиус как$r^2 = x^2 + y^2$,

Используя этот факт, вы можете преобразовать интеграл по сечению в сумму двух интегралов в $x$ а также $y$ направления, и снова по симметрии эти два интеграла должны быть равны друг другу.

Форма интегралов оказывается точно такой же математической, что и для вторых моментов площади кругового луча, что приводит к результату, о котором вы спрашивали.

Это не работает для некруглых участков, потому что распределение напряжений не радиально симметрично. Например, если вы сравните постоянную кручения и полярный момент сплошного квадратного сечения, вы обнаружите, что «константы» в двух формулах различны. Чем больше поперечное сечение отклоняется от круга, тем больше будет разница.

Константу кручения для сечения сложной формы (например, двутавровой балки) сложно рассчитать, поскольку распределение напряжений по сечению является сложным, и для него нет простой «формулы», которую вы интегрируете математически. Многие формулы для кручения в технических руководствах основаны на упрощенных предположениях, а не на «точных» математических решениях.

Но в реальной жизни «ошибки» не слишком важны, потому что, когда к некруглой структуре прикладывается крутильная нагрузка, сечения «коробятся», т.е. они больше не остаются плоскими . В реальной жизни величина деформации часто неизвестна, поскольку на нее влияют ограничения на концах вала. Если вам действительно нужна точная оценка жесткости на кручение некруглого компонента, вам необходимо создать полную трехмерную модель самого компонента и его закрепления на остальной части конструкции. Если вы делаете модель с таким уровнем детализации, нет смысла сводить ответ к одному числу, чтобы вы могли назвать его «жесткостью на кручение».

Полярный момент инерции, Ip, является сопротивлением тела, которое должно быть скручено. Однако момент инерции вращательной массы, J, является моментом инерции вращающегося твердого тела. Смотрите эту сеть .

Как я понимаю, J такой же, как обычный момент инерции, но для вращающихся объектов.