Почему мы можем пренебречь инерционным (но не вязким) термином в Навье-Стоксе при малом расходе и высокой вязкости?

8

Почему мы можем пренебречь инерционным (но не вязким) термином в Навье-Стоксе при малом расходе и высокой вязкости?

Завершите Навье-Стокса:ρDvDt=ρgP+μ2v

Инерционный термин: .DvDt=vt+vxvx+vyvy+vzvz

И, как мы предполагаем, стационарный поток и низкая скорость: . Отсюда следует, что инерционный термин можно игнорировать.vt=0,vx0,vy0,vz0

Однако в моем материале также указано, что будет доминирующим термином в этих обстоятельствах. Почему это не будет так, что а?2 v2 vμ2v2v2vx20,2vy20,2vz20μ2v0

Raoul
источник
Можете ли вы привести книгу / документ / и т.д. что сделал это требование? Это помогло бы увидеть это в контексте.
Карлтон
Учебное пособие Уэлти, Роррера и Фостера «Основы импульса, тепломассопереноса». К сожалению, это проблема в практическом документе на шведском языке, поэтому я не уверен, будет ли он очень полезен.
Рауль
У меня есть 4-е издание этой книги (английская версия). Я посмотрю и посмотрю, объяснят ли они больше.
Карлтон
Это довольно существенная ошибка / опечатка, чтобы заявить, что и я могу понять вашу путаницу относительно вторых производных! Если практическая задача сделана ТА / профессором (ами), он должен действительно пересмотреть основы механики жидкости ...βuα0
nluigi
@nluigi Я не понимаю, откуда у вас вопрос из вопроса ОП, или даже что означает это выражение. Что такое и , и что такое дифференциал? βuα0βα
Асад Саидуддин

Ответы:

4

Обычно под низким расходом и высокой вязкостью подразумевается то, что мы имеем дело с так называемым потоком с низким числом Рейнольдса. Число Рейнольдса - это безразмерное число, представляющее собой отношение сил инерции ( ) и вязкой силы ( ): Для низких доминирующих вязких сил (ламинарный режим) и для высоких доминирующих сил (турбулентных режимов). Безразмерные числа типаρUUμU/L

Re=ρUUμU/L=ρULμ
ReReReестественным образом проявляется в процессе, известном как «масштабирование», в котором уравнения делаются безразмерными; благодаря этому процессу можно сказать, какие термины пренебрежимо малы, основываясь на значениях соответствующих безразмерных чисел. Для получения дополнительной информации проверьте мой ответ на этот вопрос.

Технически, говоря «низкий расход и высокая вязкость» недостаточно, чтобы сказать, что мы имеем дело с низким потоком потому что это также зависит от масштаба длины (обычно диаметр трубы и т. Д.) И плотности ( воздуха или воды), но обычно подразумевается, что это так.ReLρ

Теперь говорим для низкого расхода, что неверно; вы, вероятно, имеете в виду, что . Это оправдывает упрощение уравнений, говоря, что что физически означает, что инерционные члены совершенно незначительны по сравнению с вязкими членами. не подразумевает а низкий расход означает то время как может быть значительным. Рассмотрим оценку по порядку величиныβuα0uββuαμβ2uαuββuα0uββuα0βuα0uβ0βuαβuαU/L; для малых значений (способствует снижению ) он может быть намного больше, чем порядок . Аналогичный анализ порядка величин вязких слагаемых показывает, что они будут еще более значительными. Следовательно, причина, по которой инерционные члены незначительны, а вязкие - нет.LRe2 β U α ~ U / L 2O(U)β2uαU/L2

nluigi
источник
2

Поскольку последний член пропорционален , а не, термин может быть большим, даже если величина скорости мала. Рассмотрим простой случай не скользящего ламинарного потока в х-ориентированной трубе. Это однонаправленный поток, поэтому мы можем отбросить и и сосредоточиться на . Будем считать, что скорость потока мала. | v | v ш ц2v|v|vwu

Однако то, что обычно маленький, не означает, что мы можем сделать вывод, что также обычно маленький. На самом деле, чем уже труба, тем больше величина . Глядя на поле градиента горизонтальной скорости, мы видим, что оно направлено внутрь, к центру трубы, где скорость максимальна. Это означает, что мы имеем отрицательную дивергенцию, для которой величина зависит от резкости изменения скорости, а не от ее общей величины.U Uuuu

Следовательно, не является незначительным, что, разумеется, является всего лишь Навье-Стоксом, точно предсказывающим тенденцию вязких сил вызывать падение давления в устойчивом состоянии горизонтальный поток в трубе (или вы можете назвать это необходимостью падения давления, чтобы усилить поток против вязких сил, как вам угодно). Отмените гравитационные и изменяющиеся во времени термины и убедитесь сами.2v={|2u|,0,0}

Асад Саидуддин
источник