Как определить характеристическую длину в вычислениях числа Рейнольдса в целом?

Я понимаю, что число Рейнольдса задается выражением , где - плотность, - скорость жидкости, а - динамическая вязкость. Для любой заданной задачи динамики жидкости , и даны тривиально. Но что именно является характерной длиной ? Как именно я рассчитать это? Что я могу использовать из данной задачи для автоматического определения длины характеристики? $Re=\frac{\rho v L}{\mu}$ $\rho$ $v$ $\mu$ $\rho$ $v$ $\mu$ $L$

fluid-mechanics Павел
источник

Не могли бы вы объяснить, почему Reynoldsnumber - это сходство, которое описывает вашу проблему потока?

Ответы:

Я хотел бы подойти к этому вопросу с математической точки зрения, которая может быть плодотворной, как обсуждалось в некоторых комментариях и ответах. Данные ответы полезны, однако я хотел бы добавить:

Как правило, наименьшей доступной шкалой длины является характерная шкала длины.
Иногда (например, в динамических системах) нет фиксированной шкалы длины, которую можно выбрать в качестве характеристической шкалы длины. В таких случаях часто можно найти динамический масштаб длины.

Характерные масштабы длины:

TL; DWTR: для,- характерная длина шкалы; для,представляет собой характерный масштаб длины. Это означает, что меньший масштаб длины (обычно) является характерным масштабом длины. $R/L\ll1$ $R$ $R/L\gg1$ $L$

Рассмотрим случай потока в трубе, обсуждаемый в других ответах; есть радиус но также длина трубы. Обычно мы принимаем диаметр трубы за характерную шкалу длины, но всегда ли это так? Что ж, давайте посмотрим на это с математической точки зрения; давайте определим безразмерные координаты: $R$ $L$

\bar{x} = \frac{x}{L} \bar{y} = \frac{y}{R} \bar{u} = \frac{u}{U} \bar{v} = \frac{v}{V} \bar{p} = \frac{p}{ρ U^{2}}

$\bar{x}=\frac{x}{L} \quad \bar{y}=\frac{y}{R} \quad \bar{u}=\frac{u}{U} \quad \bar{v}=\frac{v}{V} \quad \bar{p}=\frac{p}{\rho U^2}$

Здесь, , , , является - координат и скорость весов , но не обязательно их характерные масштабы. Обратите внимание, что выбор шкалы давления действителен только для . Случай требует изменения масштаба. $L$ $R$ $U$ $V$ $x$ $y$ $P=\rho U^2$ $\mathrm{Re}\gg1$ $\mathrm{Re}\ll1$

Преобразование уравнения непрерывности в безразмерные величины:

\nabla \cdot u = 0 \to \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \partial_{\bar{y}} \bar{v} = 0

$\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{u}=0 \rightarrow \partial_{\bar{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\bar{v}=0$

это может быть только в том случае, если мы предполагаем или . Зная это, число Рейнольдса может быть переопределено: $\frac{U}{V}\frac{R}{L}\sim1$ $\frac{V}{U}\sim\frac{R}{L}$

R e = \frac{U R}{ν} = \frac{U}{V} \frac{R}{L} \frac{V L}{ν} = \frac{V L}{ν} = \hat{R e}

$\mathrm{Re}=\frac{UR}{\nu}=\frac{U}{V}\frac{R}{L}\frac{VL}{\nu}=\frac{VL}{\nu}=\hat{\mathrm{Re}}$

Аналогично, давайте преобразуем уравнения Навье-Стокса ( -компонент только для краткости): мы видим число Рейнольдса, естественным образом возникающее как часть процесс масштабирования. Однако, в зависимости от геометрического отношения , уравнения могут потребовать масштабирования. Рассмотрим два случая: $x$

u \cdot \nabla u = - \frac{1}{ρ} \nabla p + ν △ u

$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{\nabla u}=-\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\nabla}p+\nu\triangle\boldsymbol{u}$

\bar{u} \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \bar{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\bar{x}} \bar{p} + \frac{1}{R e} [\frac{R}{L} \partial_{\bar{x}}^{2} \bar{u} + \frac{L}{R} \partial_{\bar{y}}^{2} \bar{u}]

$\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\left[\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}+\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}\right]$

R / L

$R/L$

Радиус трубы намного меньше, чем длина трубы (т. ): $R/L\ll1$

Затем преобразованное уравнение будет иметь вид: Здесь у нас есть проблема, потому что термин может быть очень большим, а правильно масштабированное уравнение имеет только коэффициенты или меньше. Поэтому нам нужно изменить масштаб координат , скорости и давления :
$\bar{u} \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \bar{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\bar{x}} \bar{p} + \frac{1}{R e} \frac{L}{R} \partial_{\bar{y}}^{2} \bar{u}$ $\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$ $\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}$ $O(1)$ $\bar{x}$ $\bar{v}$ $\bar{p}$ $\hat{x} = \bar{x} {(\frac{R}{L})}^{α} \hat{v} = \bar{v} {(\frac{R}{L})}^{- α} \hat{p} = \bar{p} {(\frac{R}{L})}^{β}$ $\hat{x}=\bar{x}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}\quad\hat{v}=\bar{v}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$ Этот выбор измененных величин гарантирует, что уравнение неразрывности останется в форме: Навье-Стокса Уравнения в пересчете на пересчитанные величины дают: которое правильно масштабируется с коэффициенты или меньше, когда мы принимаем значения . Это указывает на то, что шкала давления не нуждалась в перекалибровке, но шкалы длины и скорости были переопределены: $\partial_{\hat{x}} \bar{u} + \partial_{\bar{y}} \hat{v} = 0$ $\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\hat{v}=0$ $\bar{u} \partial_{\hat{x}} \bar{u} + \hat{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\hat{x}} \hat{p} + \frac{1}{R e} \partial_{\bar{y}}^{2} \bar{u}$ $\bar{u}\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\hat{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\hat{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$ $O(1)$ $\alpha=-1,\,\beta=0$ $\hat{x} = \bar{x} \frac{L}{R} = \frac{x}{R} \hat{v} = \bar{v} \frac{R}{L} = \bar{v} \frac{V}{U} = \frac{v}{U} \hat{p} = \bar{p} = \frac{p}{ρ U^{2}}$ $\hat{x}=\bar{x}\frac{L}{R}=\frac{x}{R}\quad\hat{v}=\bar{v}\frac{R}{L}=\bar{v}\frac{V}{U}=\frac{v}{U}\quad\hat{p}=\bar{p}=\frac{p}{\rho U^{2}}$ и мы видим , что характерная длина и масштаб скорости для соответственно и не и , как предполагается , в начале , но и . $x$ $v$ $L$ $V$ $R$ $U$
Радиус трубы намного больше, чем длина трубы (т.е. ) $R/L\gg1$ :

Затем преобразованное уравнение будет иметь вид: Как и в предыдущем случае, может быть очень большим и требует изменения масштаба. За исключением этого времени нам требуется изменение масштаба координаты , скорости и давления : Этот выбор масштабированных величин снова гарантирует, что уравнение непрерывности останется в форме:
$\bar{u} \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \bar{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\bar{x}} \bar{p} + \frac{1}{R e} \frac{R}{L} \partial_{\bar{x}}^{2} \bar{u}$ $\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}$ $\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}$ $\bar{y}$ $\bar{u}$ $\bar{p}$ $\hat{y} = \bar{y} {(\frac{R}{L})}^{α} = \frac{y}{L} \hat{u} = \bar{u} {(\frac{R}{L})}^{- α} \hat{p} = \bar{p} {(\frac{R}{L})}^{β}$ $\hat{y}=\bar{y}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$ $\partial_{\bar{x}} \hat{u} + \partial_{\hat{y}} \bar{v} = 0$ $\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\partial_{\hat{y}}\bar{v}=0$ Уравнения Навье-Стокса в пересчете на пересчитанные величины дают: который правильно масштабируется с коэффициентами или меньше, когда мы берем значения . Это указывает на то, что длина, скорости и шкалы давления были переопределены: $\hat{u} \partial_{\bar{x}} \hat{u} + \bar{v} \partial_{\hat{y}} \hat{u} = - \partial_{\bar{x}} \hat{p} + \frac{1}{\hat{R e}} \partial_{\bar{x}}^{2} \hat{u}$ $\hat{u}\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\bar{v}\partial_{\hat{y}}\hat{u}=-\partial_{\bar{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{\hat{\mathrm{Re}}}}\partial_{\bar{x}}^{2}\hat{u}$ $O(1)$ $\alpha=1\,\beta=-2$ $\hat{y} = \bar{y} \frac{R}{L} = \frac{y}{L} \hat{u} = \bar{u} \frac{L}{R} = \bar{u} \frac{U}{V} = \frac{u}{V} \hat{p} = \bar{p} {(\frac{L}{R})}^{2} = \bar{p} {(\frac{U}{V})}^{2} = \frac{p}{ρ V^{2}}$ $\hat{y}=\bar{y}\frac{R}{L}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\frac{L}{R}=\bar{u}\frac{U}{V}=\frac{u}{V}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{L}{R}\right)^{2}=\bar{p}\left(\frac{U}{V}\right)^{2}=\frac{p}{\rho V^{2}}$ и мы видим, что характерные масштабы длины, скорости и давления для соответственно , и - это не , , как предполагалось в начале, а , и , $x$ $v$ $p$ $R$ $U$ $\rho U^{2}$ $L$ $V$ $\rho V^{2}$

В случае , если вы забыли точку этого все: для , характерный масштаб длины; для , представляет собой характерный масштаб длины. Это означает, что меньший масштаб длины (обычно) является характерным масштабом длины. $R/L\ll1$ $R$ $R/L\gg1$ $L$

Динамические шкалы длины:

Рассмотрим диффузию вида в полубесконечную область. Поскольку оно бесконечно в одном направлении, оно не имеет фиксированной шкалы длины. Вместо этого масштаб длины устанавливается «пограничным слоем», медленно проникающим в область. Эта «длина проникновения», как иногда называют характеристическую шкалу длины, определяется как:

δ (t) = \sqrt{π D t}

$\delta\left(t\right) = \sqrt{\pi D t}$

где - коэффициент диффузии, а - время. Как видно, масштаб задействован, так как он полностью определяется диффузионной динамикой системы. Пример такой системы см. В моем ответе на этот вопрос. $D$ $t$ $L$

nluigi
источник

Что именно вы подразумеваете под доступным, когда говорите «наименьший доступный масштаб длины»? Что именно определяет, что доступно, а что нет?

Пол

@Paul 'available' имел в виду очевидные геометрические шкалы длины, такие как длина, высота, ширина, диаметр и т. Д. Это в отличие от динамических шкал длины, которые гораздо менее очевидны и определяются динамикой системы.

nluigi

Есть ли какое-то конкретное оправдание для общего использования «наименьшей доступной длины» в отличие от любой другой доступной длины?

Пол

@Paul Градиенты там, как правило, самые большие, поэтому большая часть транспорта происходит в небольших масштабах длины

nluigi

спасибо, что соединили это. ИДК, если это правильно, но

Дэн Пауэрс

Это практический, эмпирический вопрос, а не теоретический, который может быть «решен» математикой. Один из способов ответить на него - начать с того, что физически означает число Рейнольдса: оно представляет собой соотношение «типичных» сил инерции и вязких сил в поле потока.

Итак, вы смотрите на типичную схему потока и выбираете наилучшее измерение длины, чтобы представить это соотношение сил.

Например, в потоке через круглую трубу вязкие (сдвиговые) силы зависят от профиля скорости от оси трубы к стенкам. Если скорость вдоль оси трубы остается неизменной, удвоение радиуса (примерно) вдвое уменьшит скорость сдвига между осью и стенками (где скорость равна нулю). Таким образом, радиус или диаметр являются хорошим выбором для характерной длины.

Очевидно, что Re будет другим (в 2 раза), если вы выберете радиус или диаметр, поэтому на практике все делают один и тот же выбор, и все используют одно и то же критическое значение Re для перехода от ламинарного к турбулентному потоку. С практической точки зрения, размер трубы определяется ее диаметром, поскольку его легко измерить, поэтому вы можете также использовать диаметр для Re.

Для трубы, которая является приблизительно круглой, вы можете решить (по аналогичному физическому аргументу), что длина окружности трубы действительно является самой важной длиной, и поэтому сравнить результаты с круглыми трубами, используя «эквивалентный диаметр», определенный как (окружность / пи).

С другой стороны, длина трубы не имеет большого влияния на характер потока жидкости, поэтому для большинства целей это будет плохой выбор характеристической длины для Re. Но если вы рассматриваете поток в очень короткой «трубе», где длина намного меньше диаметра, длина может быть лучшим числом для использования в качестве параметра, описывающего поток.

alephzero
источник

Я не согласен с вашим утверждением, что математика здесь не поможет. Описанная вами процедура бесполезна во многих случаях без очевидных масштабов длины, таких как пограничный слой. Это вопрос под рукой. Габаритный анализ основных уравнений оказался весьма полезным при нахождении соответствующих масштабов длины в ламинарных и турбулентных пограничных слоях, например, масштабирования толщины ламинарного пограничного слоя и шкал вязкой длины, соответственно. Масштабирование тепловых шлейфов в дальнем поле - это еще один случай, когда гораздо менее очевидно, как выполнить предложенный вами анализ, но анализ измерений помогает.

Бен Треттель

@BenTrettel - я согласен, что анализ размеров может очень помочь в определении характерной шкалы длины. Смотрите мой ответ для «простого» примера.

Нлуиджи

Существует три основных способа определить, какие группы терминов (более общие, чем просто шкалы длины или времени) являются релевантными. Первый - математика, которая может включать в себя решение проблемы или аналогичной или подходящей проблемы аналитически, а также выяснение того, какие термины появляются, и выбор, который упрощает вещи соответствующим образом (подробнее об этом ниже). Второй подход - методом проб и ошибок, более или менее. Третий - прецедент, обычно, когда кто-то в прошлом уже проводил какой-то ранее упомянутый анализ этой проблемы или связанных с ней.

Есть несколько способов сделать теоретический анализ, но один полезный в технике - это безразмерные управляющие уравнения. Иногда характерная длина очевидна, как в случае потока в трубе. Но в других случаях нет очевидных характерных длин , как в случае свободных сдвиговых потоков или пограничного слоя. В этих случаях вы можете сделать характеристическую длину свободной переменной и выбрать ту, которая упрощает задачу . Вот несколько хороших замечаний по поводу безразмерности , в которых есть следующие предложения для нахождения характерных шкал времени и длины:

(всегда) Сделайте как можно больше безразмерных констант равными одной.

(обычно) Сделать константы, которые появляются в начальных или граничных условиях равными единице.

(обычно) Если существует безразмерная константа, которая, если бы мы установили ее равной нулю, значительно упростила бы проблему, позволила бы ей остаться свободной и затем посмотреть, когда мы можем сделать ее маленькой

Другой основной подход - полностью решить проблему и посмотреть, какие группы терминов появляются. Как правило, соответствующая длина очевидна, если вы берете термин из этого типа теоретического анализа, хотя такой анализ часто легче сказать, чем сделать.

Но как вам найти хорошую длину, если у вас нет теоретического анализа? Часто не имеет значения, какую длину вы выберете. Некоторые люди думают, что это сбивает с толку, потому что их учили, что турбулентный переход происходит при 2300 (для трубы) или 500 000 (для плоской пластины). Признайте, что в случае трубы не имеет значения, если вы выбираете диаметр или радиус. Это просто масштабирует критическое число Рейнольдса в два раза. Важно то, чтобы все используемые вами критерии соответствовали определению числа Рейнольдса, которое вы используете, и проблеме, которую вы изучаете . Это традиция, согласно которой мы используем диаметр для трубных потоков. $Re$

Кроме того, в общем, анализ или эксперимент могут предложить другое число, скажем, число Био, которое также имеет «характерную длину». Процедуры в этом случае идентичны уже упомянутым.

Иногда вы можете сделать эвристический анализ, чтобы определить соответствующую длину. В примере числа Био эта характерная длина обычно дается как объем объекта, деленный на площадь его поверхности, потому что это имеет смысл для проблем теплопередачи. (Больший объем = медленная теплопередача к центру и большая площадь поверхности = более быстрая теплопередача к центру.) Но я предполагаю, что это можно получить из определенных приближений. Вы можете привести аналогичный аргумент, обосновывающий гидравлический диаметр .

Бен Треттель
источник

Если я выберу L произвольно, и проблема будет неканонической, так что режимы потока и аналитические решения априори не известны, тогда метод проб и ошибок действительно единственный?

Пол

Я так не думаю. Возможно, вы сможете получить что-то полезное, если не масштабировать соответствующие управляющие уравнения с произвольной длиной и временными масштабами. Как правило, это мой первый шаг при анализе проблемы с четкими управляющими уравнениями, но без четкой длины или временных масштабов. Если вы не уверены, как это сделать в вашем конкретном случае, опубликуйте это как вопрос здесь, и я сделаю попытку.

Бен Треттель