Какова площадь первого момента закругленного прямоугольника? [закрыто]

Мне нужно рассчитать модуль пластического сечения прямоугольного сечения с закругленными углами. Для начала мне нужно знать формулу для области первого момента квадранта. Я не могу найти это нигде в Интернете. Кто-нибудь знает?

У меня нет простой формулы, но так я бы с ней справился. Предполагая, что четыре угла являются круглыми с равным радиусом r, так что симметрия существует, первый момент площади одной половины сечения должен быть:

$$S_{half} = S_{half\,rect}-2S_{corner}$$

где

• $S_{half\,rect} = b(h/2)(h/4) = \frac{bh^2}{8}$ 1-й момент площади половины прямоугольника (с неповрежденными углами) вокруг нейтральной оси и

• $S_{corner}$ 1-й момент площади удаляемого материала с каждого угла, вокруг нейтральной оси.

  

Как найти$S_{corner}$

Нам нужно найти его площадь и расстояние до его центроида от нейтральной оси сечения. Это помогает рассматривать удаленный угол как четверть круга, вычтенную из квадрата rxr (см. Рисунок ниже). Затем область просто определяется путем вычитания из небольшого квадрата rxr круглой четверти (см. Рисунок ниже):

$$A_{corner} = r^2 - \frac{πr^2}{4}$$

Центроид удаленного углового участка относительно верхнего края аналогичным образом определяется с учетом центроида квадрата rxr (красная точка), который расположен ниже верхнего края, и центроида четверть круга (синяя точка) который расположен от верхнего края. Комбинируя их обоих, мы получаем расстояние от центроида удаленного угла от верхнего края:$y=r/2$$y=r-\frac{4r}{3\pi}$

$$y_{corner} = \frac{1}{A_{corner}}\left(r^2\cdot\frac{r}{2} - \frac{\pi r^2}{4} \left(r-\frac{4r}{3\pi}\right)\right)$$

Обнаружив вышесказанное, первый момент площади одного удаленного угла вокруг нейтральной оси сечения:

$$S_{corner} = A_{corner}\left(\frac{h}{2} - y_{corner}\right)$$

в заключение

Подставляя в 1-ю формулу, мы получаем 1-й момент площади половины сечения . Тогда пластический модуль полного сечения, использующий преимущества симметрии, составляет:$S_{corner}$$S_{half}$

$$Z=2S_{half}$$

Для проверки результата может пригодиться калькулятор с закругленными прямоугольниками .