Теоретический вопрос о «j» мнимой единице (анализ цепи переменного тока)

Я только начал изучать анализ сети переменного тока и у меня возникли вопросы о «j» (или «i» в моем калькуляторе), мнимой единице. В моей книге об этом особо ничего не говорится, и в нем подробно рассматриваются формулы и подстановки (более практический подход, а не теоретический). Итак, что именно представляет J?

Я вижу, что если я нарисую комплексную плоскость (ось Y является воображаемой, а ось X является реальной) и нарисую на ней единичный круг, угол 90 ° равен , что является "J". Я вижу, что могу использовать эту замену в виде вектора, когда, скажем, для определения напряжения на конденсаторе, когда известен ток через него:$\sqrt{-1}$

Может кто-нибудь помочь мне понять это?

Если честно, этот вопрос довольно расплывчатый, потому что я даже не знаю, как спросить о том, что такое J; это чуждо мне. Я хотел бы получить объяснение здравого смысла (общее представление) о его значении и цели в анализе цепей переменного тока. Я не обязательно ищу строгое математическое объяснение (хотя любое необходимое математическое объяснение приветствуется).

Если вы поставите знак минус перед цифрой «5», он станет «-5».

Попробуйте взглянуть на это иначе. Попробуйте подумать, что оно поворачивает число «5» (привязанное к началу куска строки длиной 5) на 180 градусов, чтобы стать «-5»

Хорошо пока? Отрицательные признаки такие же, как при повороте на 180 градусов ...

Почему бы не расширить это далее, чтобы произвести что-то, что вы можете «приклеить» перед положительным числом, которое поворачивает его на 90 градусов - в EE это обычно называется «j», и оно действует для поворота значения (относительно источника) на 90 градусов против часовой стрелки, т.е. если вы сделали это дважды (j * j), вы получите 180 градусов ("-").

Следовательно, из этого камня знаний вы можете сказать, что j * j = -1, поэтому j = $\sqrt{-1}$

Так же, как знак минус может поворачивать любое положительное значение на 180 градусов, он может поворачивать любой вектор или вектор на 180 градусов. То же самое относится и к оператору j - он поворачивает любой вектор или вектор на 90 градусов против часовой стрелки.

РЕДАКТИРОВАТЬ - забыл часть вопроса: -

подставив j в импеданс конденсатора. Помните, что основная формула для конденсатора Q = CV и, следовательно, дифференцируя переменные, мы получаем:

$I = \dfrac{dQ}{dt} = C\dfrac{dV}{dt}$

Это говорит нам о том, что для синусоидального напряжения, приложенного к конденсатору, ток также будет синусоидальным, но дифференцируется в косинус следующим образом:

Если вы попытаетесь рассчитать полное сопротивление (V / I) конденсатора из отношения VI, у вас возникнут проблемы, потому что, когда я перехожу к нулю, V НЕ равно нулю, поэтому вы получаете бесконечность. Если, с другой стороны, вы применяете «j» для приведения тока в фазу с напряжением, математика работает хорошо - ток и напряжение выровнены, и импеданс, основанный на мгновенных значениях V / I, имеет смысл.

Я знаю, что вы только начинаете, поэтому я старался, чтобы это было точно и просто (может быть, слишком просто для некоторых?).

Если вы посмотрите на индуктор, «j» может быть применено к напряжению, чтобы выровнять его с током, следовательно, «j» находится в числителе для индуктивного сопротивления, а j - в знаменателе для емкостного сопротивления. Здесь есть тонкости, которые, надеюсь, будут иметь смысл, когда вы узнаете больше - на самом деле не случайно, что «j», кажется, «следует» за омегой, когда дело доходит до импедансов - мое объяснение не охватывает это, равно как и ваш вопрос!

$i$$-1$

$-1$$-i$

Если вы представите числовую линию с действительными числами, расположенными горизонтально. Теперь мы можем добавить вторую линию чисел, идущую вертикально, содержащую мнимые числа.

$4 + 3i$

Поскольку точка в двумерном пространстве теперь может быть представлена ​​как одно число, вычисления с использованием двумерных векторов упрощены.

В области электроники при рассмотрении систем, снабжаемых одночастотной синусоидальной волной, нас изначально учат рисовать векторные диаграммы. Затем позже использовать комплексные числа, чтобы справиться с этими проблемами.

$j$$i$$i$

Если вы хотите получить немного больше понимания, взгляните на этот вопрос: что такое воображаемые числа? с сайта обмена математики стека .

Или посмотрите здесь: визуальное, интуитивно понятное руководство по воображаемым числам .

В математике кто-то задал вопрос:

Какое решение для х ^ 2 = -1?

Они изобрели номер и сказали, что назовем его «j».

Они разработали последствия этого. Они обнаружили, что это не привело к каким-либо противоречиям в рамках существующей математики.

Обратите внимание, что вы можете подумать: «Хорошо, почему бы просто не вводить букву каждый раз, когда у вас есть что-то неразрешимое? Я просто позвоню 1/0 = f».

Попробуй это. Это не всегда работает, потому что существующие правила арифметики нарушаются. Например, вы можете показать, что определение 1/0 = f позволяет вам показать, что 1 = 2 или 1 = 3, ...

Математически это работает и не приводит к каким-либо противоречиям. Внезапно у нас есть способ «упаковать» две части информации в одно число из-за способа представления комплексного числа: в реальной / воображаемой плоскости. Внезапно мы можем манипулировать НОМЕРОМ, который содержит как амплитуду, так и фазу, точно так же, как мы манипулируем «обычными числами». Это довольно полезно.

В электронике очень удобно иметь возможность упаковывать две части информации в один номер. Так что довольно удобно использовать комплексные числа. Вот и все. Так уж случилось, что мы хотим отслеживать как величину, так и фазу - этот математический инструмент, который во многом был изобретен из ничего, но не нарушает никаких правил, позволяет нам делать именно это. Итак, давайте использовать это.

В математике мнимая единица - очень полезное число, используемое для решения уравнений с порядком выше 2. Он был введен просто ... в тест, и он работает довольно до сегодняшнего дня. Это обеспечивает получение хотя бы одного корня в каждом полиноме.

В электронике мнимая единица представляет энергию, запасенную в нашей цепи. Итак, в конденсаторе это энергия, запасенная в нем. Он также представляет фазовый сдвиг в цепи, когда мы имеем дело с синусоидальными сигналами.

Я думаю, что вы должны более точно задать свой вопрос или просто написать вопросы, которые беспокоят вас в баллах.

Например ... Если сопротивление вашей цепи будет представлено только мнимой единицей, а не реальной, ваш счет за энергию будет ... нулевым :)