Оптимизация с использованием функции стоимости

4

У меня есть следующая проблема оптимизации:

max зависимости оту + М т - 1E0t=0[log(ct)+log(mt)]y+Mt1pt+Rt1Bt1pt=ct+mt+bt+τt

Где строчные буквы обозначают реальные переменные, а - номинальная валовая процентная ставка.R

Я пытаюсь решить эту проблему, используя подход функции значения, но мне трудно понять, какой должна быть переменная состояния в этом случае. Я попытался использовать богатство как государство и сформулировал следующую функцию стоимости:

V(at)=maxct,mt,bt[u(ct,mt)+βV(at+1)]

где и начальные значения предполагается, что дано. Моя проблема сейчас в том, что я не знаю, что заменить . Я попытался переслать левую часть бюджетного ограничения (т.е. а затем дифференцируем по c, m и b, но мои результаты очень странные. Кроме того, если я правильно понял, я также должен найти что я не могу сделать с этой заменой.at=y+Mt1pt+Rt1Bt1ptat+1at+1=y+mtπt+1+Rtbtπt+1)Va(at)

Я пытаюсь изучить это, используя книгу Уолша, и в его примере бюджетное ограничение имеет капитал, который появляется по обе стороны от бюджетного ограничения, что позволяет ему переписывать капитал как функцию от . Я пытался сделать то же самое, но с реальным балансом;at

Из ограничения бюджета я могу написатьmt=atctbtτt

Итак,V(at)=[u(ct,mt)+βV(y+atctbtτtπt+1)+Rtbtπt+1]

Опять же, я различаю по c, m и b, и на этот раз мои результаты выглядят менее сумасшедшими, но все еще не правильными. Я получил:

(c)ucβVa(at+1)[1πt+1]=0

(m)um+βVa(at+1)[1πt+1]=0

(b)βVa(at+1)[Rtπt+11πt+1]=0

И, наконец,Va(at)=βVa(at+1)[1πt+1]

Последнее условие подразумевает, что что аналогично ответу Уолша, но я не могу получить форму уравнения Фишера и функцию спроса на деньги из моей работы.uc=Va(at)

Существует также условие равновесия но я понятия не имею, когда его навязывать.ct=yg

Есть мысли о том, что я сделал неправильно?

BenBernke
источник

Ответы:

3

Начиная с вашего исходного уравнения:

maxct,mt,btE0t=0U(ct,mt)

улица

(1)y+mt11+πt+1+it11+πtbt1=ct+mt+bt+τt

Здесь: иRt1=1+it11+πt=PtPt1

Обратите внимание, что в этой задаче у вас есть две переменные состояния, и , и ваша основная проблема заключалась в том, что вы сгруппировали их вместе. Ваш Беллман должен быть:mt1bt1

V(mt1,bt1)=maxct,mt,btU(ct,mt)+EtβV(mt,bt)

ул (1)

Здесь вы можете использовать свой contstraint, чтобы избавиться от одного элемента управления, или вы можете решить его с помощью лагранжиана. Если вы используете свое ограничение вместо , ваша обновленная проблема становится:ct

V(mt1,bt1)=maxmt,btU(ct(y,mt1,bt1,mt,bt,τt),mt)+EtβV(mt,bt)

В целях разъяснения:

ct(y,mt1,bt1,mt,bt,τt)=y+mt11+πt+1+it11+πtbt1mtbtτt

РПД:

[bt ]:Uct+βEtVbt=0

[mt] :Uct+Umt+βEtVmt=0

Конверты:

[bt1] :Uct1+it11+πtVbt=Uct+11+it1+πt+1

[mt1] :Uct11+πtVmt=Uct+111+πt+1

Вы должны быть в состоянии объединить эти уравнения так, чтобы вы нашли спрос на деньги. Для меня ваше состояние равновесия (наряду с тем фактом, что в настройках нет капитала) подразумевает, что нет сбережений в реальных переменных, и, следовательно, у вас нет ничего, что могло бы ограничить реальную процентную ставку, и поэтому вам не хватает информация, чтобы найти уравнение Фишера.

Boaten
источник
2

Благодаря @Boaten я смог найти решение. Для тех, кто заинтересован, вот шаги для получения отношения Фишера:

Объединяя FOC и конверт для мы получаем[bt][bt1]

Uct=βEtUct+1(1+it)1+πt+1 Предполагается, что полезность войти в оба аргумента это может быть упрощено как

ct+1ct=βEt1+it1+πt+1

Автор предполагает, что , поэтому левая часть равна 1. Таким образом, мы получаемct=yg

1Rt=βEt[11+πt+1] - результат, который я получил.

BenBernke
источник