CES: производственная функция: эластичность замещения

10

Я должен доказать это σ=1/(1+ρ) для производственной функции CES:

q=(lρ+kρ)1ρ

Я узнал, что мне нужно решить следующее уравнение:

σ=d(k/l)k/ldRTSRTS=d(k/l)dRTSRTSk/l=d(k/l)d((k/l)1ρ)(k/l)1ρk/l

Но я просто не знаю, как переписать это выражение σ=1/(1+ρ)

frankfranfrank
источник
Посмотрите пример для производства Кобба Дугласа и попробуйте решить его для CES. en.wikipedia.org/wiki/Elasticity_of_substitution
невежественный

Ответы:

9

Производственная функция:

q=(lρ+kρ)1ρ
MPL и MPK являются соответственно:
ql=ql=1ρ(lρ+kρ)1ρ1ρlρ1
qk=qk=1ρ(lρ+kρ)1ρ1ρkρ1
Какова скорость, которую l может заменить на k?

куда f является дифференцируемой вещественной функцией единственной переменной, мы определяем эластичность f (x) относительно x (в точке x) как

σ(x)=xf(x)f(x)df(x)f(x)dxx
  1. Сделайте изменение переменных таким образом, чтобы u=ln(x) (x=eu) а также v=ln(f(x)) (f(x)=ev)
  2. Обратите внимание, что v=f(x)/f(x) а также u=1x так что
    vu=f(x)f(x)1x=σ(x)
  3. Обратите внимание, что это также результат, который вы получаете, решая для dlnf(x)dln(x) потому что dlnf(x)dln(x)=dvdu который мы решаем через правило цепочки:
    dvdUзнак равноdvdИксdИксdUзнак равное'(Икс)е(Икс)Икс
    что происходит именно определение σ(Икс),

Теперь давайте займемся вашей проблемой эластичности.

LN(QКQL)знак равноLог(1ρ(Lρ+Кρ)1ρ-1ρLρ-11ρ(Lρ+Кρ)1ρ-1ρКρ-1)знак равноLN(LК)ρ-1знак равно(ρ-1)LN(L/К)знак равно(1-ρ)LN(К/L)
LN(К/L)знак равно11-ρLN(QКQL)

Так σзнак равно11-ρ

BKay
источник
1ρ а также ρМожно уменьшить производные MPL и MPK для упрощения изложения.
Гарей
0

Я хотел бы добавить немного к ответу выше. Я написал комментарий ранее, но я подумал, что было бы полезно конкретизировать спор немного подробнее.

У нас есть фирма, которая использует два фактора производства, труда L и капитал К, для производства продукции. Количество выхода написаноQ,

Эластичность функции отдельной переменной измеряет процентную долю зависимой переменной в процентном изменении независимой переменной.

С другой стороны, эластичность замещения между двумя факторами влияет на процентную реакцию отношения их количеств к процентному изменению в относительных предельных продуктах.

Что касается вышесказанного, мы имеем, что упругость определяется как

σdпер(К/L)dпер(MпL/MпК)

где MпL является предельным продуктом труда и MпК является предельным продуктом капитала.

Причина, по которой я это пишу, заключается в том, что в приведенном выше ответе есть небольшая ошибка. В уравнении сразу после «Теперь давайте займемся вашей проблемой эластичности»перQКQL сразу же следует выражение для перQLQК переключение числителя со знаменателем.

Если вы исправите это, вы получите это σзнак равно-11-ρчто близко, но не совсем правильно. Чтобы получить правильный ответ, вы должны следовать в точности тем же вычислениям, которые даны вышеупомянутым ответом, чтобы получить

перК/Lзнак равно11-ρперQLQК

чтобы получить это σзнак равно11-ρгде исправления по причинам, изложенным выше.

mathsquestions1
источник