CES: производственная функция: эластичность замещения

Я должен доказать это $\sigma = 1/(1 + \rho)$ для производственной функции CES:

$$\begin{align} q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho} \end{align}$$

Я узнал, что мне нужно решить следующее уравнение:

$$\begin{align} \sigma = \frac{\frac{d(k/l)}{k/l}}{\frac{dRTS}{RTS}} = \frac{d(k/l)}{dRTS}\frac{RTS}{k/l} = \frac{d(k/l)}{d((k/l)^{1-\rho})}\frac{(k/l)^{1-\rho}}{k/l} \end{align}$$

Но я просто не знаю, как переписать это выражение $\sigma = 1/(1 + \rho)$

Производственная функция:

$$q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho}$$ MPL и MPK являются соответственно: $$q_l = \frac{\partial q}{\partial l} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}$$ $$q_k = \frac{\partial q}{\partial k} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}$$ Какова скорость, которую l может заменить на k?

куда $f$ является дифференцируемой вещественной функцией единственной переменной, мы определяем эластичность f (x) относительно x (в точке x) как

$$\sigma(x) = \frac{x f'(x)}{f(x)}\equiv \frac{\frac{df(x)}{f(x)}}{\frac{dx}{x}}$$

1. Сделайте изменение переменных таким образом, чтобы $u = ln(x)$ ($\rightarrow x = e^u$) а также $v=ln(f(x))$ ($\rightarrow f(x) = e^v$)
2. Обратите внимание, что $v' = f'(x) / f(x)$ а также $u'=\frac{1}{x}$ так что $$\frac{v'}{u'}=\frac{\frac{f'(x)}{f(x)}}{\frac{1}{x}} = \sigma(x)$$
3. Обратите внимание, что это также результат, который вы получаете, решая для $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)}$ потому что $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)} = \frac{d v}{d u}$ который мы решаем через правило цепочки: $$\frac{d v}{d u} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d u} = \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot x$$ что происходит именно определение $\sigma(x)$,

Теперь давайте займемся вашей проблемой эластичности.

$$ln(\frac{q_k}{q_l})= log(\frac{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}}{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}}) = ln (\frac{l}{k})^{\rho-1} = (\rho-1) ln (l/k) = (1 - \rho) ln (k/l)$$ $$\Rightarrow ln (k/l) = \frac{1}{1-\rho} \cdot ln(\frac{q_k}{q_l})$$

Так $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$

Я хотел бы добавить немного к ответу выше. Я написал комментарий ранее, но я подумал, что было бы полезно конкретизировать спор немного подробнее.

У нас есть фирма, которая использует два фактора производства, труда $l$ и капитал $k$, для производства продукции. Количество выхода написано$q$,

Эластичность функции отдельной переменной измеряет процентную долю зависимой переменной в процентном изменении независимой переменной.

С другой стороны, эластичность замещения между двумя факторами влияет на процентную реакцию отношения их количеств к процентному изменению в относительных предельных продуктах.

Что касается вышесказанного, мы имеем, что упругость определяется как

$$\begin{align} \sigma \equiv \frac{d \ln{\left( k/l \right)}}{d\ln{ \left( MPL/MPK \right)}} \end{align}$$

где $MPL$ является предельным продуктом труда и $MPK$ является предельным продуктом капитала.

Причина, по которой я это пишу, заключается в том, что в приведенном выше ответе есть небольшая ошибка. В уравнении сразу после «Теперь давайте займемся вашей проблемой эластичности»$\ln{\frac{q_k}{q_l}}$ сразу же следует выражение для $\ln{\frac{q_l}{q_k}}$ переключение числителя со знаменателем.

Если вы исправите это, вы получите это $\sigma = -\frac{1}{1-\rho}$что близко, но не совсем правильно. Чтобы получить правильный ответ, вы должны следовать в точности тем же вычислениям, которые даны вышеупомянутым ответом, чтобы получить

$$\ln{k/l} = \frac{1}{1-\rho}\cdot \ln {\frac{q_l}{q_k}}$$

чтобы получить это $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$где исправления по причинам, изложенным выше.