Триангуляции Делоне на сфере максимизируют минимальный угол?

9

Триангуляции Делоне на плоскости максимизируют минимальный угол в треугольнике. Справедливо ли то же самое для триангуляции Делоне точек на сфере? (здесь «угол» - это локальный угол в окрестности вокруг вершины на вершине).

Вдохновленный, но не связанный с этим вопросом на Math.SE.

Суреш Венкат
источник
1
Конечно, это свойство будет иметь место для множества, локализованного в небольшой плоской области сферы, так как это многообразие. Реальный вопрос заключается в том, будет ли пожертвована собственность, поскольку точки распространяются по сфере. Я думаю, что для того, чтобы иметь триангуляцию Делоне, вам понадобятся жирные треугольники даже больше, чем в евклидовом случае, поэтому свойство будет иметь место.
Жозефина Мёллер
4
Разве это не следует из того факта, что стереографическая проекция из общей точки на сфере отображает круги на круги и сохраняет углы между пересекающимися кривыми (~ ребрами) из-за конформности? Или я что-то упустил?
кто-то
1
@ Someone Да, это должно сделать это. По крайней мере, большая часть этого. Там может быть заминка или два, но это было бы центральной идеей. Мне было интересно об этом. Я не осознавал, что стереографическое картирование было конформным.
Жозефина Мёллер
1
@SureshVenkat Теперь, когда вы упомянули гиперболическое пространство, возможно, моя интуиция задом наперед. В гиперболическом пространстве вы должны учитывать тот факт, что существуют «незаконные» окружности (то есть гиперциклы и орициклы). В то время как в сферическом пространстве вы не; Вы всегда можете найти круги, которые проходят через три точки.
Жозефина Мёллер
7
Я не думаю, что это работает. Вы хотите убедиться, что проекция выводит большие круги на линии (так как вы измеряете углы между краями треугольников, которые являются большими кругами / прямыми). Я не думаю, что вы не можете сделать это с помощью стереографической проекции. Вы можете сделать это только с помощью проекции из точки в центре сферы, которая переводит несколько кругов в эллипсы.
Питер Шор

Ответы:

10

ПЕРВЫЙ АРГУМЕНТ: Это был мой первый ответ. Обратите внимание, что этот аргумент неверен. Смотрите мой второй аргумент ниже.

Я не думаю, что это правда. Причина, по которой он работает в плоскости, заключается в том, что в круге вписанный угол, представленный хордой, составляет половину соответствующего центрального угла. Таким образом, если у нас есть треугольник с небольшим углом, любые точки, которые будут составлять больший угол с противоположным краем, находятся внутри пустого круга Делоне, и поэтому не являются одной из точек в конфигурации, для которой мы находим триангуляцию.

Теперь предположим, что у вас есть триангуляция Делоне на сфере. Поместите точку в центре сферы и спроецируйте всех пионтов на плоскость. Края треугольников (большие круги на сфере) взяты на отрезки. Но круги, придающие свойство пустого шара, берутся в эллипсы, и поэтому, если есть точка вне спроецированного эллипса, но внутри окружности треугольника, эта точка будет иметь больший угол с краем.

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Подожди минуту. Этот ответ совершенно неверен, поскольку центральная проекция не сохраняет углы. Я все еще думаю, что гипотеза неверна, потому что у меня есть гораздо более сложный аргумент, что теорема о вписанных углах не распространяется на сферу. Вот аргумент:

ВТОРОЙ АРГУМЕНТ:

Причина, по которой это имеет место в плоскости, состоит в том, что вписанный угол, образованный хордой, составляет половину соответствующего центрального угла. Это верно, потому что на диаграмме ниже мы имеем

СYИкс2знак равно12(π-Икс2СY)
а также
СYИкс1знак равно12(π-Икс1СY),
Вычитая, получаем
Икс1YИкс2знак равно12Икс1СИкс2,

геометрическая картина

Теперь, в сферической геометрии, мы получаем

СYИкс2знак равно12(π-Икс2СY+A(Икс2СY))
а также
СYИкс1знак равно12(π-Икс1СY+A(Икс1СY)),
где A(ИксYZ)означает площадь треугольника XYZ. Вычитая, получаем
Икс1YИкс2знак равно12(Икс1СИкс2+A(Икс2СY)-A(Икс1СY)),

Для местоположения точек Y делая постоянный угол Икс1YИкс2 чтобы быть кругом, нам нужно, чтобы разница площадей A(Икс2СY)-A(Икс1СY) зависит только от длины дуги Икс1Икс2, Однако это несовместимо с наблюдением, чтоA(ИксСY) является 0 за Икс диаметрально противоположный Y и для Иксзнак равноY, но растет до некоторого максимального размера между ними.

Таким образом, локус точек Y с постоянным углом Икс1YИкс2это не круг Это означает, что для некоторого треугольникаИкс1YИкс2 мы можем найти точку Y' за пределами окружности Икс1YИкс2 поэтому угол Икс1YИкс2<Икс1Y'Икс2, Затем мы можем использовать это, чтобы построить контрпример к предположению, что триангуляции Делоне на сфере максимизируют минимальный угол.

Питер Шор
источник
2
Я не ожидал, что этот вопрос будет таким хитрым :). с нетерпением жду фотографии.
Суреш Венкат