Триангуляции Делоне на плоскости максимизируют минимальный угол в треугольнике. Справедливо ли то же самое для триангуляции Делоне точек на сфере? (здесь «угол» - это локальный угол в окрестности вокруг вершины на вершине).
Вдохновленный, но не связанный с этим вопросом на Math.SE.
cg.comp-geom
delaunay-triangulation
Суреш Венкат
источник
источник
Ответы:
ПЕРВЫЙ АРГУМЕНТ: Это был мой первый ответ. Обратите внимание, что этот аргумент неверен. Смотрите мой второй аргумент ниже.
Я не думаю, что это правда. Причина, по которой он работает в плоскости, заключается в том, что в круге вписанный угол, представленный хордой, составляет половину соответствующего центрального угла. Таким образом, если у нас есть треугольник с небольшим углом, любые точки, которые будут составлять больший угол с противоположным краем, находятся внутри пустого круга Делоне, и поэтому не являются одной из точек в конфигурации, для которой мы находим триангуляцию.
Теперь предположим, что у вас есть триангуляция Делоне на сфере. Поместите точку в центре сферы и спроецируйте всех пионтов на плоскость. Края треугольников (большие круги на сфере) взяты на отрезки. Но круги, придающие свойство пустого шара, берутся в эллипсы, и поэтому, если есть точка вне спроецированного эллипса, но внутри окружности треугольника, эта точка будет иметь больший угол с краем.
РЕДАКТИРОВАТЬ:
Подожди минуту. Этот ответ совершенно неверен, поскольку центральная проекция не сохраняет углы. Я все еще думаю, что гипотеза неверна, потому что у меня есть гораздо более сложный аргумент, что теорема о вписанных углах не распространяется на сферу. Вот аргумент:
ВТОРОЙ АРГУМЕНТ:
Причина, по которой это имеет место в плоскости, состоит в том, что вписанный угол, образованный хордой, составляет половину соответствующего центрального угла. Это верно, потому что на диаграмме ниже мы имеем
Теперь, в сферической геометрии, мы получаем
Для местоположения точекY делая постоянный угол Икс1YИкс2 чтобы быть кругом, нам нужно, чтобы разница площадей А (Икс2СY) - А (Икс1СY) зависит только от длины дуги Икс1Икс2 , Однако это несовместимо с наблюдением, чтоА ( ХСY) является 0 за Икс диаметрально противоположный Y и для Икс= Y , но растет до некоторого максимального размера между ними.
Таким образом, локус точекY с постоянным углом Икс1YИкс2 это не круг Это означает, что для некоторого треугольникаИкс1YИкс2 мы можем найти точку Y' за пределами окружности Икс1YИкс2 поэтому угол Икс1YИкс2<Икс1Y'Икс2 , Затем мы можем использовать это, чтобы построить контрпример к предположению, что триангуляции Делоне на сфере максимизируют минимальный угол.
источник