Ряд геометрических проблем прост, если рассматривать их в , но они являются NP-полными в R d для d ≥ 2 (включая одну из моих любимых задач - покрытие диска устройства).
Знает ли кто-нибудь о проблеме, которая разрешима по полимеру для и R 2 , но является NP-полной для R d , d ≥ 3 ?
В более общем смысле, существуют ли проблемы, NP-полные для но многократные, разрешимые для R k - 1 , где k ≥ 3 ?
cc.complexity-theory
reference-request
cg.comp-geom
Боб Фрейзер
источник
источник
Ответы:
Установить покрытие полупространствами.
При заданном наборе точек на плоскости и наборе полуплоскостей, вычисляющих минимальное количество полуплоскостей, покрывающих множества точек, можно решить за полиномиальное время на плоскости. Проблема, однако, заключается в том, что NP трудна в 3d (это сложнее, чем найти минимальное покрытие подмножеством дисков точек в 2d). В 3d вы получаете подмножество полупространств и точек, и вы ищете минимальное количество полупространств, покрывающих точки.
Алгоритм polytime в 2d описан здесь: http://valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/08/expand_cover/
источник
Это не совсем то, что вы спрашиваете, потому что 3d-версия еще сложнее, чем NP-полная, но: Найти кратчайший путь между двумя точками среди полигональных препятствий на плоскости за полиномиальное время (проще всего, построить график видимости двух терминалов и вершины многоугольника и применять Dijkstra, также есть более сложный алгоритм O (n log n) из-за Hershberger и Suri, SIAM J. Comput. 1999), но поиск кратчайшего пути среди многогранных препятствий в 3d является PSPACE-полным (Canny и Reif, FOCS 1987).
источник
Любой невыпуклый многоугольник на плоскости может быть триангулирован за O (n) раз без точек Штейнера; то есть каждая вершина триангуляции является вершиной многоугольника. Более того, каждая триангуляция имеет ровно n-2 треугольника.
Однако определение того, можно ли триангулировать невыпуклый многогранник в R ^ 3 без точек Штейнера, является NP-полным. Результат NP-твердости сохраняется, даже если вам дана триангуляция с одной точкой Штейнера, поэтому даже аппроксимация минимального количества требуемых точек Штейнера является NP-сложностью. [Джим Рупперт и Раймунд Зайдель. О сложности триангуляции трехмерных невыпуклых многогранников. Дискретный компьютер Геом. 1992]
Если данный многогранник является выпуклым, найти триангуляцию легко, но найти триангуляцию с минимальным количеством тетраэдров NP-сложно. [Александр Белов, Хесус де Лоэра и Юрген Рихтер-Геберт. Сложность нахождения малых триангуляций выпуклых 3-многогранников . J. Алгоритмы 2004.]
источник
Задача реализуемости для мерных многогранников является кандидатом. Когда d ≤ 3 , это разрешимо за полиномиальное время (по теореме Стейница ), но когда d ≥ 4 , это NP-трудно. Для получения дополнительной информации, пожалуйста, посмотрите « Пространства реализации 4-многогранников универсальны » Рихтера-Геберта и Циглера (также есть версия arxiv ) и книгу « Лекции по многогранникам » (2-е издание) Циглера.d d≤3 d≥4
источник
Решить, является ли метрическое пространство изометрически вложимым в R ^ 2, легко. Тем не менее, NP-трудно решить для встраиваемости R ^ 3.
Бумага
источник
источник