Можно получить приближение 7/8 для MAX3SAT, которое выполняется за времени без особых проблем. Вот идея. Разделите набор переменных на групп по переменных в каждой. Для каждой группы попробуйте все способов назначения переменных в группе. Для каждой приведенной формулы запустите аппроксимацию Karloff и Zwick . Выведите назначение, удовлетворяющее максимальному количеству предложений, из всех этих испытаний.2 O ( ε п ) O ( 1 / ε ) ε п 2 ε п 7 / 87 / 8 + ε / 82O ( ε n )O ( 1 / ε )ε н2ε н7 / 8
Дело в том, что существует некоторый переменный блок, такой, что оптимальное назначение (ограниченное этим блоком) уже удовлетворяет -размещению максимального числа удовлетворенных предложений. Вы получите правильные эти дополнительные пункты, и вы получите от оставшейся части оптимального, используя Карлоффа и Цвика.7 / 8ε7 / 8
Это интересный вопрос, можно ли получить времени для одного и того же типа аппроксимации. Существует «Линейная гипотеза PCP», что 3SAT может быть уменьшен за полиномиальное время до MAX3SAT, так что:2O ( ε2н )
- если экземпляр 3SAT выполним, то экземпляр MAX3SAT полностью выполним,
- если экземпляр 3SAT является неудовлетворительным, то экземпляр MAX3SAT не удовлетворяется 7/8 , и7 / 8 + ε
- уменьшение увеличивает размер формулы только на множитель .р о л у( 1 / ε )
Предполагая эту линейную гипотезу PCP, приближение -время 7/8 для всех и повлечет за собой то, что 3SAT находится за времени, для всех . (Здесь - количество предложений.) В доказательстве используется лемма о разрежении Импальяццо, Патури и Зейна. 7 / 8 + ε с ε 2 ε п ε м2O ( εсм )7 / 8 + εсε2ε нεм
Чтобы немного переформулировать то, что Райан Уильямс написал в своем последнем абзаце:
источник