Монотонная сложность вычислительных функций на разреженных входах

12

Вес |x|двоичной строки x{0,1}n - количество единиц в строке. Что произойдет, если мы заинтересованы в вычислении монотонной функции на входах с несколькими из них?

Мы знаем, что решить, имеет ли граф клик, сложно для монотонных цепей (см., Среди прочего, Alon Boppana, 1987), но если граф имеет, например, не более k 3 ребер, можно найти монотонную ограниченную схему глубины размера f ( k ) n O ( 1 ), которая решает k -клик.kk3f(k)nO(1)k

Мой вопрос: есть ли какая-либо функция, которую трудно вычислить с помощью монотонной схемы даже на входах с весом меньше ? Здесь жесткий означает размер цепи n k Ω ( 1 ) .knkΩ(1)

Еще лучше: существует ли явная монотонная функция, которую трудно вычислить, даже если мы заботимся только о входных значениях веса и k 2 ?k1k2

Эмиль Йержабек уже заметил, что известные нижние оценки имеют место для монотонных схем, которые разделяют два класса входных данных ( -cliques против максимальных ( a - 1 ) -цветных графов), таким образом, за счет некоторой независимости в вероятностном аргументе можно сделать это работа для двух классов ввода фиксированного веса. Это приведет к тому, что k 2 будет функцией n, которую я хочу избежать.a(a1)k2n

Что действительно хотелось бы, так это явная жесткая функция для k1 и k2 намного меньшая, чем n (как в параметризованной структуре сложности). Еще лучше, если k1=k2+1 .

Обратите внимание, что положительный ответ для k1=k2 будет означать экспоненциальную нижнюю оценку для произвольных цепей.

Обновление : этот вопрос может быть частично актуальным.

MassimoLauria
источник
2
На ваш самый первый (общий) вопрос (не о Клике). Я думаю, что даже случай с входами не более очень сложен. Возьмем двудольный n × m граф G с m = o ( n ) . Присвойте каждой вершине u булеву переменную x u . Пусть F G ( х ) монотонная булева функция, минтермы являются х ух v для ребер у v из G . Пусть s ( G2n×mGm=o(n)uxufG(x)xuxvuvG минимальный размер монотонной схемы, которая правильно вычисляет f G на входах с2 . Тогда любая нижняя оценка s ( G ) ( 2 + c ) n для константы c > 0 будет означатьэкспоненциальнуюнижнюю оценку длянемонотонныхцепей. s(G)fG2s(G)(2+c)nc>0
Стасис
1
n/2exp(min{a,n/b}1/4)в виде < б к н к к 3 ( п - к ) О ( п 2 журнала п ) Kbaa<bknkk3(nk)O(n2logn) для каждой константы . k
Стасис
Я должен уточнить, что я забочусь о разреженных входах в смысле разреженного графика. Поиск клика в очень разреженном графе (с, скажем, ребрами) может быть выполнен в монотонной схеме FPT. к 10kk10
MassimoLauria
Ваш пример в первом комментарии очень хорош. Если я правильно понимаю, это аналогичная проблема с монотонными функциями, которые трудно на фиксированный вес . Используя псевдодополняющие функции для симуляции отрицательных входов, сложность схемы не различается в монотонном и немонотонном случае. Для постоянного (или малого) это псевдодополнение может быть эффективно реализовано с помощью монотонной схемы. кkk
MassimoLauria
2
Мой первый комментарий основывался на сложности графика. Феномен " " можно найти на странице 13 этого проекта . Кстати, я не совсем понял, что вы имеете в виду, говоря, что "тяжело для k и k + 1"? (Моя вина, конечно.)(2+c)n
Стасис

Ответы:

2

В частности, рассматривая одну часть вопроса (например, для = 1, = 2), Локам изучил функции «2-среза» в этой статье и доказывает, что сильные нижние оценки для них могут быть обобщены, поэтому это очень сложная открытая задача. связанные с разделением классов базовой сложности, и любая такая конструкция / явная функция была бы прорывом; из аннотации:к 2k1k2

Булева функция f называется двухслойной функцией, если она оценивается как ноль на входах с менее чем двумя единицами и оценивается как единица на входах с более чем двумя единицами. На входах с ровно двумя единицами f может быть нетривиально определено. Существует естественное соответствие между 2-слайс-функциями и графиками. Используя структуру сложности графов, мы показываем, что достаточно сильные суперлинейные монотонные нижние оценки для очень специального класса 2-срезовых функций будут означать суперполиномиальные нижние оценки по полному базису для некоторых функций, полученных из них.

  • Сложность графа и функции срезов / Сатьянараяна В. Локам, Теория вычислений. Systems 36, 71–88 (2003)

также, как и в своих комментариях, SJ освещает этот аналогичный случай в своей книге в разделе, посвященном изучению сложности звезд в графах, раздел 1.7.2.

ВЗН
источник