Вес двоичной строки - количество единиц в строке. Что произойдет, если мы заинтересованы в вычислении монотонной функции на входах с несколькими из них?
Мы знаем, что решить, имеет ли граф клик, сложно для монотонных цепей (см., Среди прочего, Alon Boppana, 1987), но если граф имеет, например, не более k 3 ребер, можно найти монотонную ограниченную схему глубины размера f ( k ) ⋅ n O ( 1 ), которая решает k -клик.
Мой вопрос: есть ли какая-либо функция, которую трудно вычислить с помощью монотонной схемы даже на входах с весом меньше ? Здесь жесткий означает размер цепи n k Ω ( 1 ) .
Еще лучше: существует ли явная монотонная функция, которую трудно вычислить, даже если мы заботимся только о входных значениях веса и k 2 ?
Эмиль Йержабек уже заметил, что известные нижние оценки имеют место для монотонных схем, которые разделяют два класса входных данных ( -cliques против максимальных ( a - 1 ) -цветных графов), таким образом, за счет некоторой независимости в вероятностном аргументе можно сделать это работа для двух классов ввода фиксированного веса. Это приведет к тому, что k 2 будет функцией n, которую я хочу избежать.
Что действительно хотелось бы, так это явная жесткая функция для и намного меньшая, чем (как в параметризованной структуре сложности). Еще лучше, если .
Обратите внимание, что положительный ответ для будет означать экспоненциальную нижнюю оценку для произвольных цепей.
Обновление : этот вопрос может быть частично актуальным.
Ответы:
В частности, рассматривая одну часть вопроса (например, для = 1, = 2), Локам изучил функции «2-среза» в этой статье и доказывает, что сильные нижние оценки для них могут быть обобщены, поэтому это очень сложная открытая задача. связанные с разделением классов базовой сложности, и любая такая конструкция / явная функция была бы прорывом; из аннотации:к 2k1 k2
также, как и в своих комментариях, SJ освещает этот аналогичный случай в своей книге в разделе, посвященном изучению сложности звезд в графах, раздел 1.7.2.
источник