Пьяные птицы против пьяных муравьев: случайные прогулки между двумя и тремя измерениями

30

Хорошо известно, что случайное блуждание в двумерной сетке вернется в начало координат с вероятностью 1. Также известно, что такое же случайное блуждание в ТРЕХ измерениях имеет вероятность, строго меньшую 1, возврата в начало координат .

Мой вопрос:

Есть что-то среднее? Например, предположим, что мое пространство на самом деле было ограниченной областью плоскости, выдвинутой на бесконечность в направлении z. (что часто называют 2,5-мерным). Применяются ли двумерные результаты или трехмерные?

Это возникло в дискуссиях, и один эвристический аргумент, говорящий, что он ведет себя двумерно, заключается в том, что, поскольку конечная область плоскости будет в конечном итоге покрыта, единственной нетривиальной частью обхода является одномерный луч вдоль направления z, и поэтому возвращаемся с происхождением случится.

Есть ли другие формы, которые интерполируют между двумерным и трехмерным делом?

Обновление (извлечено из комментариев): связанный вопрос был задан по МО - краткое резюме состоит в том, что если прогулка является четной (2 + ϵ) размерной, то неопределенная доходность вытекает свободно из расходящихся рядов. Тем не менее, вышеупомянутый вопрос немного отличается от ИМО, так как я спрашиваю о других видах фигур, которые могут допустить определенный возврат.

Суреш Венкат
источник
2
Не очень разбираюсь в теме, но мне в голову пришла перколяция! Как насчет случайной прогулки по фильтрам? Кажется вероятным быть кандидатом на дробные результаты измерений для любого . N>1
против
1
в каком смысле вы имеете в виду промежуточный? Кажется, что между 1 и строго ниже 1 не так много; Итак, вы хотите, чтобы промежуточный интервал был относительно размера пространства? Другими словами, должен ли любой ответ быть прогулкой по чему-то с естественной мерой измерения?
Артем Казнатчеев
6
Примечание: связанный вопрос был задан на MO: mathoverflow.net/questions/45098/… - краткое резюме состоит в том, что если прогулка является даже размерной, то неопределенная доходность вытекает свободно из расходящихся рядов. Тем не менее, вышеупомянутый вопрос немного отличается, так как я спрашиваю о других видах фигур, которые могут допустить определенный возврат. (2+ε)
Суреш Венкат
3
Для ограниченной области плоскости, вытянутой на бесконечность вдоль оси , мы имеем дело с утолщенной линией, а не с откормленной плоскостью; как таковой, я ожидал бы, что поведение будет ближе к одномерному случаю, чем двумерный случай. Z
Джеймс Кинг,

Ответы:

17

Вероятность на деревьях и сетях Переса и Лиона упоминает об этом в главе 2 (стр. 50):

Один из способов понять это - спросить о типе пространств, промежуточных между и . Например, рассмотрим клинZ 3Z2Z3

Wезнак равно{(Икс,Y,Z):|Z|е(|Икс|)}

где является возрастающей функцией. Количество ребер, которые оставляют имеет порядок , так что согласно критерию Нэша-Уильямса,е:NNWе{(Икс,Y,Z):|Икс| или |Y|N}N(е(N)+1)

ΣN11N(е(N)+1)знак равно

достаточно для повторения.

Марчин Котовски
источник
3
Это отличный справочник, и в нем есть общий метод определения того, когда такие прогулки расходятся. Ницца !
Суреш Венкат
1

3-D случайное блуждание в пространстве 3x3x3 (например, кубик Рубика) с вероятностью менее одного возврата к исходной точке, если блуждание начинается снаружи; но пространство 2x2x2 равно единице, как и пространство 3x3x3 с началом координат в центре. Таким образом, кажется, что есть некоторые промежуточные формы, но, возможно, не очень много.

xpda
источник
2
Но тороид двумерный. Я не нахожу удивительным, что он вернется к исходной точке. Похоже, особый случай 2D.
Джон Мёллер
1
И ограничено! Возвращаться к началу координат должно быть еще проще, чем в самолете.
Деррик Столи
Ой, ты прав. Я отредактирую это к другой форме.
xpda