Является ли подсчет максимальных кликов в графе несопоставимости # P-полным?

13

Этот вопрос мотивирован вопросом MathOverflow Пэна Чжана . Валиант показал, что подсчет максимальных клик в общем графе является # P-полным, но что если мы ограничимся графами несопоставимости (т. Е. Мы хотим подсчитать максимальные антицепи в конечном множестве)? Этот вопрос кажется достаточно естественным, и я подозреваю, что он рассматривался ранее, но я не смог найти его в литературе.

Тимоти Чоу
источник

Ответы:

11

Согласно этому реферату для «Сложности подсчета срезов и вычисления вероятности того, что граф связан» (SIAM J. Comput. 12 (1983), pp. 777-788), подсчет антицепей в частичном порядке равен # P-полной. У меня нет доступа к этой статье, поэтому я не могу сказать, охватывает ли этот результат максимальные антицепи или нет.

mhum
источник
@ Андрас: Я думаю, что их результат о подсчете антицепей (которые не обязательно максимальны). Может быть легко увидеть, что подсчет максимальных антицепей также # P-завершен, но я не вижу этого.
Цуёси Ито
@ Андрас: Вопрос о максимальных антицепях, а не максимальных кардинальных антицепях. Я не изучал сокращение в статье, поэтому, возможно, их сокращение также доказывает # P-полноту подсчета максимальных антицепей одновременно, но, по крайней мере, это разные проблемы.
Цуёси Ито
@ Tsuyoshi: вы правы, бумага Provan / Ball показывает, что подсчет антицепей максимальной мощности равен # P-hard. Вернуться к чертежной доске ...
Андрас Саламон
8
На самом деле, если вы посмотрите на доказательство, то увидите, что # P-полнота доказана для класса множеств, в котором все максимальные антицепи имеют одинаковую мощность. А именно, начните с любого двудольного графа с n вершинами и постройте двудольный граф G с 2 n вершинами, добавив n новых вершин { v : v V } и n новых ребер { ( v , v) ) : V граммзнак равно(В,Е)Nграмм'2NN{v':vВ}N . Затем, если V 1 и V 2 - это двоякое разделение множества вершин G , определите poset на V 1V 2 , задав x < y, если x V 1 и y V 2, а x и y смежны в G . Так что это ответ на мой вопрос. {(v,v'):vВ}В1В2грамм'В1В2Икс<YИксВ1YВ2ИксYграмм'
Тимоти Чоу