Нижняя граница размера формулы для функций AC0

25

Вопрос:

Какова самая известная нижняя граница размера формулы для явной функции в AC 0 ? Существует ли явная функция с нижней границей Ω(n2) ?

Задний план:

Как и большинство нижних границ, трудно найти нижние границы размера формулы. Меня интересуют нижние границы размера формулы над стандартным набором универсальных вентилей {AND, OR, NOT}.

Самая известная нижняя граница размера формулы для явной функции над этим набором логических элементов равна Ω(n3o(1)) для функции, определенной Андреевым. Эта граница была показана Хостадом, улучшив нижнюю оценку Андреева Ω(n2.5o(1)) . Другой явной нижней границей является нижняя граница Храпченко Ω(n2)для функции четности.

Однако эти две функции не находятся в AC 0 . Мне интересно, если мы знаем явную функцию в AC 0 с квадратичной (или лучше) нижней границей. Лучшая оценка, которую я знаю, это нижняя граница Ω(n2/logn) для функции Различия Элементов, как показано Нечипоруком. Обратите внимание, что функция отличимости элемента находится в AC 0 , поэтому я ищу нижнюю границу для явной функции AC 0, которая лучше, чем Ω(N2/журналN) , предпочтительно Ω(N2) .

Дальнейшее чтение:

Отличный ресурс по этой теме - «Сложность булевых функций: достижения и границы» Стасиса Юкны. Черновик книги доступен бесплатно на его сайте.

Робин Котари
источник
Может ли причина отсутствия суперлинейных нижних границ для функций быть в некоторой степени самоустраиваемостью для функций A C 0 ? то есть , если мы имеем п 1 + ε LowerBound (где ε не зависит от глубины) , то мы получим superpoly LowerBound. AС0AС0N1+ϵϵ
Каве
@Kaveh: я не уверен, что понимаю. У нас уже есть нижняя граница для функции из A C 0 (отличимость элемента). Ω(n2/logn)AC0
Робин Котари
Извините, замените суперлинейный на супер-квадратичный. Я имею в виду что-то похожее на результат Аллендера-Куки для . Экспонента для A C 0 может быть больше. Такой результат может объяснить , почему это трудно найти C 0 lowerbounds для A C 0 функций. TC0AC0AC0AC0
Каве
Кажется, что любая проблема, которая является полной для при сокращениях по Тьюрингу N C 0, является самовосстанавливаемой, но, похоже, это не дает того, чего я ожидал, поскольку размер самоуничтожения может быть полиномиально большим. AC0NC0
Каве

Ответы:

15

Хороший вопрос! Храпченко определенно не может дать квадратичные нижние оценки для функций . Его нижняя граница фактически равна как минимум квадрату средней чувствительности. И все функции в A C 0 имеют полулогарифмическую среднюю чувствительность. Субботовская-Андреев, по-видимому, также не может дать такую ​​функцию, потому что аргумент, который они используют (случайное ограничение приводит к гораздо меньшим формулам), как раз и является причиной принудительного увеличения размера схемы A C 0 ; Переключающая лемма Хастада (не совсем уверен, просто интуиция). Единственная надежда - Нечипорук. Но его аргумент не может дать больше n 2 / log nAC0AC0AC0n2/lognПо информационным теоретическим причинам. Так может ли быть так, что все в имеет формулы квадратичного (или даже меньшего) размера? Я не верю в это, но не смог быстро найти контрпример. AC0

На самом деле, феномен Аллендера-Куки возникает и в другом контексте - в сложности графа. Скажем , что схема переменных представляет собой двудольный п × п граф G на вершинах V = { 1 , ... , 2 п } , если для каждого входного вектора а с ровно два 1s, скажем, позиции я и J ( я п , J > п ) схема принимает тогда и только тогда вершины я и J2nn×nGV={1,,2n}aijinj>naijсмежны в . Проблема: проявляет явный граф G требует , по крайней мере п х ворот , чтобы быть представлена монотонной Σ 3 -circuit. Похоже , невинный вопрос (так как большинство графов требуют около п +1 / +2 ворот. Но любой такого граф даст нам булеву функцию 2 м = 2 лога п переменных , требующие немонотонную логарифмическую глубину схему суперлинейного размера (по результатам Доблестный). Таким образом, даже доказательство n ϵ нижних границ для схем глубины 3 может быть проблемой. GGnϵ Σ3n1/22m=2lognnϵ

Стасис
источник
Добро пожаловать в историю. :) (кстати, ваша новая книга выглядит довольно интересно, к сожалению, я не являюсь носителем английского языка, поэтому не могу помочь с ее корректурой.)
Kaveh
На самом деле, любые комментарии / критические замечания по содержанию / ссылкам и т. Д. На данный момент также очень важны. Текущая версия здесь . Пользователь: друг Пароль: catchthecat
Stasys
Спасибо :) Я собираюсь прочитать последние главы о сложности доказательственного предложения.
Каве
2
Большое спасибо за ответ! Если вы думаете о функции в которую, по вашему мнению, требует формула размера Ω ( n 2 ) , мне будет интересно узнать. AC0Ω(n2)
Робин Котари
12

Спасибо, Каве, за желание взглянуть на главы о сложности доказательства!

Относительно вопроса Робина, во-первых, примечание содержит функции, требующие формул (и даже цепей) размера n k для любой константы k . Это следует, скажем, из простого факта, что A C 0 содержит все DNF с постоянно длинными мономами. Таким образом, A C 0 содержит не менее exp ( n k ) различных функций для любого k . С другой стороны, мы имеем не более функций exp ( t log n ), вычисляемых по формулам размера tAC0 nkkAC0AC0exp(nk)kexp(tlogn)t,

Я коротко обсудил вопрос получения явных нижних границ или больше с Игорем Сергеевым (из Московского университета). Одной из возможностей может быть использование метода Андреева, но применение к некоторой другой, более простой для вычисления функции вместо контроля четности. То есть рассмотрим функцию из n переменных вида F ( X ) = f ( g ( X 1 ) , , g ( X b ) ), где b = log n, а g - функция из An2nF(X)=f(g(X1),,g(Xb))b=logng из n / b переменных; f - одна из самых сложных функцийпеременных b (достаточно просто наличия f ). Нам нужно только, чтобы функцию g нельзя было «убить» в следующем смысле: если мы фиксируем всепеременные,кроме k, в X , то должна быть возможность исправить все, кроме одной из оставшихся переменных в g, чтобы полученная подфункция g это одна переменная. Тогдаприменяя аргумент Андреева и используя результат Hastad о томчто сжатие постоянная,крайней мере 2 (не только 3 / 2AC0n/bfbfgkXgg23/2как ранее показала Сибботовская), полученная нижняя оценка для будет около n 3 / k 2 . Конечно, мы знаем, что любую функцию в A C 0 можно убить, зафиксировав все переменные, кроме n 1 / d , для некоторой константы d 2 . Но , чтобы получить п 2 нижняя граница этого будет достаточно , чтобы найти явную функцию A C 0 , которые не могут быть убиты, фиксируя все , но, скажем, п 1 / 2F(X)n3/k2AC0 n1/dd2n2AC0n1/2переменные. Нужно искать такую ​​функцию на глубине больше двух.

На самом деле, для функции как указано выше, можно получить нижние оценки для n 2 / log n с помощью простого жадного аргумента, без Нечипорука, без Субботовской и без случайных ограничений! Для этого достаточно просто, чтобы «внутренняя функция» g (Y) была нетривиальной (зависит от всех ее n / b переменных). Более того, оценка верна для любого базиса постоянных вееров, а не только для формул де Моргана.F(X)n2/lognn/b

Доказательство: учитывая формулу для с s листами, выберите в каждом блоке X i переменную, которая наименьшее число раз появляется в виде листа. Затем установите все остальные переменные в соответствующие константы так, чтобы каждый g ( X i ) превращался в переменную или ее отрицание. Полученная формула будет тогда как минимум в n / b раз меньше, чем исходная формула. Таким образом, s не менее n / b = n / log nF(X)sXig(Xi)n/bsn/b=n/lognумножить на формулу размера от f , то есть s n 2 - o ( 1 ) . QED2b/logb=n/loglognfsn2o(1)

Для того, чтобы получить или более, один должно включать Субботовский-Hastad эффект усадки при случайных ограничениях. Возможным кандидатом может быть какая-то версия функции Сипсера, используемая Hastad, чтобы показать, что схемы глубины ( d + 1 ) более мощные, чем схемы глубины d .n2(d+1)d

Стасис
источник