Мы знаем, что log ранга матрицы 0-1 является нижней границей детерминированной сложности связи, а log приблизительного ранга является нижней границей рандомизированной сложности связи. Наибольший разрыв между детерминированной коммуникационной сложностью и рандомизированной коммуникационной сложностью является экспоненциальным. Так как насчет разрыва между рангом и приблизительным рангом булевой матрицы?
10
Ответы:
Сначала я приведу некоторую предысторию и определю приблизительный рейтинг. Хорошим справочным материалом является недавний опрос Ли и Шрайбмана « Нижние границы сложности коммуникации» .
В результате Краузе говорится, что где и - это сложность связи частных монет с ограниченной ошибкой с ошибкой, ограниченной сверху .α = 1 / ( 1 - 2 ϵ ) R p r i ϵ A ϵRpriϵ(A)≥logrankα(A) α=1/(1−2ϵ) рп р яε A ε
Выше было для фона. Теперь, чтобы ответить на вопрос, Патури и Саймон показали, что полностью характеризует сложность связи с неограниченной ошибкой . Они также показали , что это согласуется с минимальным размером расположения , реализующей булеву функцию, коммуникационная матрица . Сложность связи функции равенства с неограниченной ошибкой равна . Запомни.A A O ( 1 )р а н к∞( А ) A A O ( 1 )
Матрица связи для равенства - это просто тождество, т. Е. Булева матрица с строками и столбцами со всеми единицами по диагонали. Давайте обозначим это как . Алон показал, что точностью до логарифмического множителя (по теореме Краузе мы получаем ).2 n I 2 n r a n k 2 ( I 2 n ) = Ω ( n ) R p r i ϵ ( E Q ) = Ω ( log n )2N 2N я2N р а н к2( Я2N) = Ω ( n ) рп р яε( EQ ) = Ω ( logн )
Тождественная матрица имеет полный ранг, т. Е. . Таким образом, мы имеем экспоненциально большие разделения для и . α = 2 α → ∞2N α = 2 α → ∞
источник