Какой самый большой разрыв между рангом и приблизительным рангом?

10

Мы знаем, что log ранга матрицы 0-1 является нижней границей детерминированной сложности связи, а log приблизительного ранга является нижней границей рандомизированной сложности связи. Наибольший разрыв между детерминированной коммуникационной сложностью и рандомизированной коммуникационной сложностью является экспоненциальным. Так как насчет разрыва между рангом и приблизительным рангом булевой матрицы?

pyao
источник
1
что такое «приблизительный ранг» матрицы?
Суреш Венкат
7
ε -approximate ранг булевой матрицы M минимальный ранг реальной матрицы A , что отличается от M не более чем на ε в любой записи (см Бурман и Вольф 2001, «Коммуникационная сложность нижние границы полиномами»). Было бы полезно отредактировать вопрос, чтобы объяснить это (если это желаемое определение) и описать роль ε (поскольку разница в рангах явно зависит от ε ).
mjqxxxx

Ответы:

9

Сначала я приведу некоторую предысторию и определю приблизительный рейтинг. Хорошим справочным материалом является недавний опрос Ли и Шрайбмана « Нижние границы сложности коммуникации» .

Определение: Пусть - знаковая матрица. Приближенный ранг A с коэффициентом аппроксимации α , обозначаемый r a n k α ( A ) , равенAAαrankα(A)

rankα(A)=minB:1A[i,j]B[i,j]αrank(B)

Когда , определитеα

rankα(A)=minB:1A[i,j]B[i,j]rank(B) .

В результате Краузе говорится, что где и - это сложность связи частных монет с ограниченной ошибкой с ошибкой, ограниченной сверху .α = 1 / ( 1 - 2 ϵ ) R p r i ϵ A ϵRϵpri(A)logrankα(A)α=1/(12ϵ)RϵpriAε

Выше было для фона. Теперь, чтобы ответить на вопрос, Патури и Саймон показали, что полностью характеризует сложность связи с неограниченной ошибкой . Они также показали , что это согласуется с минимальным размером расположения , реализующей булеву функцию, коммуникационная матрица . Сложность связи функции равенства с неограниченной ошибкой равна . Запомни.A A O ( 1 )рaNК(A)AAО(1)

Матрица связи для равенства - это просто тождество, т. Е. Булева матрица с строками и столбцами со всеми единицами по диагонали. Давайте обозначим это как . Алон показал, что точностью до логарифмического множителя (по теореме Краузе мы получаем ).2 n I 2 n r a n k 2 ( I 2 n ) = Ω ( n ) R p r i ϵ ( E Q ) = Ω ( log n )2N2Nя2NрaNК2(я2N)знак равноΩ(N)рεпря(ЕQ)знак равноΩ(журналN)

Тождественная матрица имеет полный ранг, т. Е. . Таким образом, мы имеем экспоненциально большие разделения для и . α = 2 α 2Nαзнак равно2α

Маркос Вильягра
источник
Спасибо. но мой вопрос: есть ли суперэкспоненциальный разрыв для и , где но не . r a n k α ( A ) α > 1 α rank(A)rankα(A)α>1α
Пяо
ааа я вижу, но это не написано в вопросе. Насколько мне известно, самый большой разрыв является экспоненциальным.
Маркос Вильягра
1
Маркос дает вам ссылку, которая показывает разрыв в между и . как может быть суперэкспоненциальный разрыв, когда размер матрицы равен ? 2N/NрaNКрaNК22N
Сашо Николов
Вы имеете в виду разрыв а не 2 Ω ( n ) ? Ω(2N)2Ω(N)
Сашо Николов
Сашо делает хорошую мысль, что вы имеете в виду под «суперэкспоненциальным»? Для любой проблемы со связью матрица всегда больше {0,1}n×{0,1}n .
Маркос Вильягра