Неформально говоря, колмогоровская сложность строки - это длина самой короткой программы, которая выводит . Мы можем определить понятие «случайная строка», используя ее ( является случайным, если ). Легко видеть, что большинство строк случайные (коротких программ не так много).х х К ( х ) ≥ 0,99 | х |
Теория сложности Колмогорова и алгоритмическая теория информации в настоящее время достаточно развиты. И есть несколько забавных примеров использования колмогоровской сложности в доказательствах различных теорем, которые не содержат ничего о колмогоровской сложности в своих высказываниях ( конструктивная LLL , неравенство Лумиса-Уитни и т. Д.).
Есть ли хорошие применения колмогоровской сложности и алгоритмической теории информации в вычислительной сложности и смежных областях ? Я чувствую, что должны быть результаты, использующие колмогоровскую сложность в качестве простой замены простых подсчитывающих аргументов. Это, конечно, не так интересно.
Ответы:
Лэнс Фортнау написал статью на эту тему: сложность Колмогорова и сложность вычислений
Вы также должны проверить «Введение в колмогоровскую сложность и ее приложения » Ли и Витаньи, окончательную книгу на эту тему. В частности, в главе 6 «Метод несжимаемости» обсуждается ряд приложений по сложности, таких как доказательство сложности Колмогорова леммы о переключении Хастада (из « Цепи нижних границ а-ля Колмогорова » Фортнау и Лапланте).
И есть приложения в сложности коммуникации (например, сложность Колмогорова и комбинаторные методы в сложности коммуникации Каплана и Лапланте).
источник
Всего несколько дней назад Скотт Ааронсон использовал аргумент, основанный на колмогоровской сложности, чтобы показать эквивалентность выборки и поиска . Далее он утверждает, что в своем рассуждении колмогоровская сложность используется существенным образом, а не просто как счетный аргумент.
источник
Этот результат Alon et al. можно получить с помощью колмогоровской сложности.
«Множество ребер E каждого конечного двудольного графа можно разбить на подмножества так, чтобы все получающиеся двудольные графы были почти регулярными».р о л у (журнал| Е| )
источник
Одна отличная статья, о которой я знаю (в дополнение к другим замечательным статьям, упомянутым в других ответах):
Юрис Хартманис, Обобщенная колмогоровская сложность и структура возможных вычислений , FOCS 1983.
Главное, что я помню из этой статьи, - колмогоровская сложная конструкция оракула, отделяющего P от NP.
Еще одна статья, которая приходит на ум,
Аллендер и др., Power from Random Strings , FOCS 2002 ( версия ECCC ) и SICOMP 2006 .
Насколько я помню, последняя статья отделяет полноту-время полноты Тьюринга от полноты много-единичного лог-пространства в PSPACE, используя аргументы сложности Колмогорова. Конечно, это делает много других вещей, но я напоминаю, что разделение - это одно приложение, которое представляет самостоятельный интерес вне алгоритмической теории информации.
источник
Также есть метод квантовой нижней границы, который использует колмогоровскую сложность:
« Нижние оценки для рандомизированной и квантовой сложности запроса с использованием аргументов Колмогорова » Софи Лапланте и Фредерика Магниеса
источник
(Теперь серьезно.) Даниил Мусатов недавно показал, что наивная дерандомизация может обеспечить разумные конструкции для объектов, которые, как обычно показывают, существуют неконструктивно с помощью вероятностного метода. Я думаю, что это, вероятно, обеспечит существенные будущие приложения ограниченной по Колмогорову сложности к вычислительной сложности.
Смотрите также статьи, цитирующие это .
(Изменить: ссылка на более позднюю, опубликованную версию.)
источник
Х. Бурман, Л. Фортнов и С. Лапланте. Ресурс-ограниченная колмогоровская сложность вновь. SIAM Journal of Computing, 31 (3): 887-905, 2002. ( журнал , веб-страница Лэнса ).
Включает приложения колмогоровской сложности, такие как:
Некоторые из вышеперечисленных были впервые доказаны в этой статье, тогда как другие являются просто новыми доказательствами старых теорем с использованием колмогоровской сложности.
Приложения ограниченной по Колмогорову сложности в теории сложности - хороший обзор Эрика Аллендера из других приложений. Хотя многие из результатов здесь являются следствиями, некоторые из них являются истинными приложениями, такими как следующее:
Оба доказательства используют колмогоровскую сложность значительно.
источник
источник
Минимальная длина описания использует сложность Колмогорова (или ее аппроксимации и обобщения из-за неразрешимости) в теоретико-информационном обучении и теории вывода. В частности, MDL используется для поиска объяснений данных, которые естественным образом избегают переобучения.
Йорма Риссанен дает хорошее представление о своей концепции: http://www.mdl-research.org/jorma.rissanen/pub/Intro.pdf
источник
Ты имеешь в виду что-то подобное, ильяраз?
http://arxiv.org/abs/1004.3993
источник