Я не специалист по колмогоровской сложности, но я думаю, что такой x можно построить для любой функции сложности K следующим образом. Поскольку 1, 11, 1111, 11111111,…, 1 2 n ,… является кодировкой натурального числа n , K (1 2 n ) не может быть o (log n ). Однако когда n = 2 м , очевидно, K (1 2 n ) = K (1 2 2 м ) = O (log m ) = O (log log n ). Следовательно, последовательность K (1), K (11), K (1111), K (11111111),…, K (1 2 n ),… не может быть слабо монотонно возрастающей, что означает, что существует строка x в форме 1 2 n такая, что K ( xx ) <K ( x ).
Да. Сложность Коломогорова на практике зависит от вашей модели. Машина Тьюринга, Java-программа, C ++-программа, ... если в вашей модели есть идиосинкразия, которая позволяет этому происходить на конечном наборе входных данных, это не проблема.
Лучший вопрос заключается в том, как много из этого поведения вы можете избежать, и при этом модель будет универсальной.
источник
@Tsuyoshi:
Я не очень хорошо понял ваше доказательство.
Предположим, что мы выбрали стандартную машину Тьюринга в качестве «языка описания», определяющегоК( s ) как число состояний самой маленькой ТМ, которая начинается с пустой ленты и останавливается после печати строки s в теме.
Вы доказали, что мы можем построитьTMs s который "печатает" строку s s = 1111 ... 1 = 12n + 1 на ленте и построен с меньшим количеством состояний, чемTMs который "печатает" строку s = 12N ?
Можно ли применить ваше доказательство к колмогоровской сложности на ТМ?
OK! Я получил это ... когдаn + 1 = 2м TMs s can be "powered" with a new "inner loop" (we add some states but we can remove many states that in TMs are needed for "counting" n ) ... Thanks!
(sorry, but I don't know how to post this as comment)
источник