Существуют ли такие x, что K (xx) <K (x), где K - колмогоровская полнота.

16

Обозначим через колмогоровскую сложность строки x . Существуют ли такие строки, что K ( x x ) < K ( x ) . (Здесь x x - это сцепление x с самим собой). Похожий , но другой вопрос был задан здесь , но контрпример дается в ответ на этот вопрос не работает для этого.K(x)xK(xx)<K(x)xxx

Суни Якобсен
источник

Ответы:

20

Я не специалист по колмогоровской сложности, но я думаю, что такой x можно построить для любой функции сложности K следующим образом. Поскольку 1, 11, 1111, 11111111,…, 1 2 n ,… является кодировкой натурального числа n , K (1 2 n ) не может быть o (log n ). Однако когда n = 2 м , очевидно, K (1 2 n ) = K (1 2 2 м ) = O (log m ) = O (log log n ). Следовательно, последовательность K (1), K (11), K (1111), K (11111111),…, K (1 2 n ),… не может быть слабо монотонно возрастающей, что означает, что существует строка x в форме 1 2 n такая, что K ( xx ) <K ( x ).

Цуёси Ито
источник
1
@ Tsuyoshi, есть несжимаемая строка такая, что K ( x x ) < K ( x ) ? xK(xx)<K(x)
Мухаммед Аль-Туркистани
Я думаю, что и K (1 ^ {2 ^ n}) = Ω (log n) противоречат друг другу. Что он имеет в виду: если f ( n ) = o ( log n ), то K ( 1 2 n ) O ( f ( n ) ) . В противном случае доказательство кажется хорошим. K(122m)=O(logm)f(n)=o(logn)K(12n)O(f(n))
Сунь Якобсен
1
Это похоже на работу. Действительно, я думаю, что это дает вам бесконечную последовательность таких строк. Тем не менее, либо я что-то неправильно понимаю, либо утверждение правила цепочки для Сложности Колмогорова, которое появляется в Википедии ( en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule_for_Kolmogorov_complexity ), тогда неверно. Первоначально я думал, что определение википедии здесь может не применяться, так как там вы должны быть в состоянии знать, где заканчивается X и начинается Y, в то время как здесь это, кажется, не требуется, но когда Y = X, вы можете добавить это к описанию в O (1), говоря «разделить в середине».
Абель Молина
@Sune: Обозначение Ω (⋅) имеет несколько несколько разных определений. «K (1 ^ 2 ^ n) = Ω (log n)» в моем ответе означает «limsup K (1 ^ 2 ^ n) / log n> 0», и это не противоречит «K (1 ^ 2 ^ 2»). ^ m) = O (log m) ». Я отредактировал ответ, чтобы прояснить этот момент. Смотрите также Какому определению асимптотической скорости роста мы должны учить?
Цуёси Ито
1
@turkistany и все: обратите внимание, что всегда верно, что K (xx)> K (x) -c для некоторой константы, я думал, что на это следует обратить внимание. Это также означает, что нам нужно очень точное определение несжимаемого, если мы хотим изучить этот вопрос. Я думаю, что ответ снова да, но у меня нет доказательств.
Домоторп
2

Да. Сложность Коломогорова на практике зависит от вашей модели. Машина Тьюринга, Java-программа, C ++-программа, ... если в вашей модели есть идиосинкразия, которая позволяет этому происходить на конечном наборе входных данных, это не проблема.

Лучший вопрос заключается в том, как много из этого поведения вы можете избежать, и при этом модель будет универсальной.

Чад Brewbaker
источник
Я думаю, что лучший вопрос: существует ли такой x для всех моделей? Я не знаю, что такое «модель» формально, но кажется, что ответ Цуёси работает для всех разумных языков программирования.
Сунь Якобсен
Вы можете назначить 0 в ИксИкс и что-то большее для Икси еще есть универсальная модель.
Каве
1

@Tsuyoshi:

Я не очень хорошо понял ваше доказательство.

Предположим, что мы выбрали стандартную машину Тьюринга в качестве «языка описания», определяющего К(s)как число состояний самой маленькой ТМ, которая начинается с пустой ленты и останавливается после печати строки s в теме.

Вы доказали, что мы можем построить TMss который "печатает" строку ssзнак равно1111 ... 1знак равно12N+1на ленте и построен с меньшим количеством состояний, чемTMs который "печатает" строку sзнак равно12N ?

Можно ли применить ваше доказательство к колмогоровской сложности на ТМ?

OK! Я получил это ... когдаN+1знак равно2м TMss can be "powered" with a new "inner loop" (we add some states but we can remove many states that in TMs are needed for "counting" n) ... Thanks!

(sorry, but I don't know how to post this as comment)

Marzio De Biasi
источник
To write a comment on a post made by someone other than you which is not an answer to your question, you need reputation point at least 50.
Tsuyoshi Ito