Я пытаюсь понять связь между изоморфизмом графов и проблемой скрытой подгруппы. Есть хорошая ссылка для этого?
23
Я пытаюсь понять связь между изоморфизмом графов и проблемой скрытой подгруппы. Есть хорошая ссылка для этого?
Ответы:
Ссылки можно найти в ответе martinschwarz, но вот краткое изложение нескольких сокращений.
Симметрическая группа действует на графах из n вершин, переставляя вершины. Определение того, являются ли два графа изоморфными, эквивалентно полиномиальному времени для вычисления порождающего множества полиномиального размера для . A u t ( G )SN A u t ( G )
Сведение к HSP над симметричной группой (где - количество переменных в графе). Функция является , где есть перестановка в и является перестановка версии . Тогда постоянна на смежных классах и различна на разных смежных классах (заметим, что образ состоит из всех графов, изоморфных ). Поскольку скрытой подгруппой является именно , если бы мы могли решить этот HSP, то у нас был бы генераторный набор для n f f ( p ) = p ( G ) p S n p ( G ) G f A u t ( G ) f G A u t ( G ) A u t ( G )SN N е е( p ) = p ( G ) п SN p ( G ) г е A u t ( G ) е г A u t ( G ) A u t ( G ) , это все, что нам нужно для решения GI (см. выше).
Сведение к HSP по . Если мы хотим знать , изоморфны ли два графа и на вершинах, рассмотрим граф который является несвязным объединением и на вершинах. Пусть действует на вершины, меняя местами на для . Либо либо . Как и раньше, пусть где G Н н К О Н 2 н Z / 2 Z я п + я я = 1 , . , , , n A u t ( K ) = A u t ( G ) × A u t ( H ) A u t ( K ) = ( ASn≀Z/2Z G H n K G H 2n Z/2Z i n+i i=1,...,n Aut(K)=Aut(G)×Aut(H) F ( х ) = х ( К ) х S п ≀ Z / 2 Z К е U т ( K ) A u t ( K ) G H KAut(K)=(Aut(G)×Aut(H))semidirectZ/2Z f(x)=x(K) x теперь является элементом который действует на как описано. Скрытая подгруппа, ассоциированная с является в точности , как в предыдущем сокращении. Если мы решим этот HSP, мы получим генераторную установку для . Тогда легко проверить, содержит ли порождающий набор какой-либо элемент, который заменяет копию на копию внутри (имеет нетривиальный компонент ).Sn≀Z/2Z K f Aut(K) Aut(K) G H K Z/2Z
источник
Возможно, вы захотите прочитать недавнее сообщение в блоге Дэйва Бэкона « Изоморфизм графов» со ссылками на литературу.
источник
«Квантовые алгоритмы для алгебраических задач» Эндрю Чайлдса и Вима ван Дама arXiv: 0812.0380 - очень хорошая обзорная статья, которая содержит хорошее введение в неабелеву HSP и его связь с изоморфизмом графов.
источник